¿Cuál es la relación entre las coordenadas polares y cartesianas?

Primero veamos qué son las coordenadas cartesianas y las coordenadas polacas.

Las coordenadas cartesianas se utilizan en un plano cartesiano, por ejemplo: plano xy . Por lo general , el eje x es la línea horizontal y el eje y es la línea vertical. Los dos ejes se encuentran en el origen, digamos O (0,0). En este plano, cuando decimos sobre un punto, digamos P, entonces está dado por las coordenadas (x, y), lo que significa que P es un punto en el plano cartesiano que se encuentra a una distancia x del origen, distancia O e y encima / debajo del eje x.

Los valores hacia el derecho de origen y el origen anterior son valores positivos. Los valores hacia la izquierda del origen y debajo del origen son valores negativos.

En coordenadas polares decimos la posición de un punto como qué tan lejos y en qué ángulo está. En la fig. El punto inferior está a una distancia de 8.2 unidades del origen y forma un ángulo de 40.5 ° con el eje x

Ahora, hagamos la conversión de una forma a otra. Para eso usaremos este triángulo.

Fuente: Math is Fun – Ayuda con la tarea

  • Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

Usando el teorema de Pitágoras tenemos

[matemáticas] r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Y [matemáticas] tan \ theta = \ frac {y} {x} [/ matemáticas]

Aquí, [matemáticas] x, y [/ matemáticas] es el de las coordenadas cartesianas y [math] r, \ theta [/ math] es el de las coordenadas polares.

  • Para convertir coordenadas polares en coordenadas cartesianas:

[matemáticas] Cos \ theta = \ frac {adj} {hyp} = \ frac {x} {r} [/ math]

[matemáticas] Sin \ theta = \ frac {opp} {hyp} = \ frac {y} {r} [/ math]

Un ejemplo:

Tomemos el punto A (x, y) = (6,6) en coordenadas cartesianas. Luego, usando el teorema de Pitágoras tenemos

[matemáticas] r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = \ sqrr {6 ^ 2 + 6 ^ 2} = \ sqrt {36 + 36} = \ sqrt {72} \ aprox 8.5 [/ matemáticas]

[matemáticas] tan \ theta = \ frac {y} {x} = \ frac {6} {6} = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ theta = 45 ° [/ matemática]

Por lo tanto, [matemática] (x, y) = (6,6) [/ matemática] en coordenadas cartesianas es [matemática] (r, \ theta) = (8.5,45 °) [/ matemática] en coordenadas polares

Ahora, digamos que sabemos que A está a una distancia de 8.5 unidades del origen y forma un ángulo de 45 ° con el eje x. Entonces tenemos coordenadas polares [matemáticas] (r, \ theta) = (8.5,45 °) [/ matemáticas]

Entonces,

  • Para encontrar x:

[matemáticas] Cos \ theta = cos45 ° = \ frac {adj} {hyp} = \ frac {x} {r} = \ frac {x} {8.5} [/ math]

[matemáticas] x = 8.5 * cos45 ° = 8.5 * \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ aprox 6 [/ matemáticas]

  • Para encontrar y:

[matemáticas] Sin \ theta = sin45 ° = \ frac {opp} {hyp} = \ frac {y} {r} = \ frac {y} {r} = \ frac {y} {8.5} [/ matemáticas]

[matemática] y = 8.5 * cos45 ° = 8.5 * \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ aprox 6 [/ matemática]

Por lo tanto, [math] (r, \ theta) = (8.5,45 °) [/ math] en coordenadas polares es [math] (x, y) = (6,6) [/ math] en coordenadas cartesianas

¡Feliz matemática!

Vayamos un paso más allá y discutamos la diferencia entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas. Las coordenadas polares son 2D, como un gráfico en una hoja de papel. Las coordenadas polares son un caso especial de coordenadas esféricas que están en 3D. Entonces, si comprende las coordenadas esféricas, también obtendrá las coordenadas polares.

Si observa la imagen de arriba, el vector V se puede ubicar de dos maneras: coordenadas cartesianas y coordenadas polares. Las coordenadas cartesianas son Vx, Vy y Vz, y son las medidas a lo largo de los ejes que le dan el punto V. Las coordenadas esféricas son ρ, θ, ϕ. En lugar de tres distancias en línea recta, estas coordenadas son dos ángulos y una distancia en línea recta, y le dan el mismo punto. ϕ es el ángulo fuera del eje X. θ es el ángulo fuera del eje Z. Estos dos se combinan para darle una línea que apunta hacia el espacio. ρ es la distancia a lo largo de esa línea desde el origen.

La calculadora vectorial de vCalc proporciona conversiones de transformaciones cartesianas a esféricas y esféricas a cartesianas en el espacio 3D.