El diferencial de una función indica cuánto cambiaría el valor de la función si la variable cambiara en una cantidad infinitesimal.
El área de superficie de una esfera, expresada en función de su radio es
[matemáticas] \ qquad A (r) = 4 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces su diferencial sería:
- ¿Cuál es el área de un cilindro?
- ¿El ángulo desde la punta del ala hasta el pico de la punta del ala en las rapaces deslizantes es igual a 153 grados aproximadamente (ver comentario)?
- Cómo encontrar el volumen de un cilindro sólido
- Una línea recta pasa por los puntos (0, 0) y (1, 7). ¿Cuál es el gradiente de la línea? ¿Cuál es la intersección x de la línea?
- Cómo simplificar el ángulo [matemáticas] \ frac {13 \ pi} {4} [/ matemáticas] expresándolo como un ángulo equivalente más pequeño
[matemáticas] \ qquad \ mathrm d A (r) = 8 \ pi r \, \ mathrm dr [/ math]
Lo que esto significa es que si el radio actual de la esfera es [matemática] r [/ matemática], y si el radio es cambiado por una cantidad infinitesimal [matemática] \ matemática dr [/ matemática], entonces el área de la superficie de la esfera cambiará por [math] 8 \ pi r \, \ mathrm dr [/ math].
Entonces la nueva superficie será
[matemáticas] \ begin {align} \ qquad A (r + \ mathrm dr) & = A (r) + \ mathrm d A (r) \\ & = 4 \ pi r ^ 2 + 8 \ pi r \, \ mathrm dr \ end {align} [/ math]
Tenga en cuenta la importante condición de que [math] \ mathrm dr [/ math] es una cantidad infinitesimal. Esta condición es lo que hace
[matemáticas] \ qquad 4 \ pi (r + \ mathrm dr) ^ 2 = 4 \ pi r ^ 2 + 8 \ pi r \, \ mathrm dr [/ math]
Si el cambio no es infinitesimal, entonces tendríamos:
[matemática] \ qquad 4 \ pi (r + \ Delta r) ^ 2 = 4 \ pi r ^ 2 + 8 \ pi r \, \ mathrm dr + 4 \ pi (\ Delta r) ^ 2 [/ matemática]