¿Cómo demostrar que en un cuadrilátero, las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos y los puntos medios de las diagonales son concurrentes?

Answer 1

Voy a corregir ligeramente el encuadre de la pregunta, supongo, aquí está lo que es …

Requerido para demostrar que: en un cuadrilátero, las líneas que unen los puntos medios de sus lados opuestos, y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales son concurrentes …

DADO: un cuadrilátero ABCD. Los puntos medios de sus diagonales son d1, d2. & M1, M3, M2, M4 son puntos medios de sus lados opuestos.

Entonces, aquí tenemos que demostrar que M1M3, M2M4 y d1d2 son concurrentes. es decir, todos pasan por el mismo punto O.

PRUEBA: en tri ABC, M3d1 // BC ………. (1)

& en tri DBC, M1d2 // BC ………… (2) (por teorema del punto medio)

Entonces, por (1) y (2) M3d1 // M1d2 …… .. (3)

Del mismo modo, en tri ADC y en tri ADB

M1d1 y M3d2 ambos // AD

Entonces, M1d1 // M3d2 ………… (4)

Por (3) y (4)

M3d2M1d1 es un paralelogramo ya que ambos pares de lados opuestos son paralelos.

Entonces, el segmento que une los puntos medios d1, d2 de las diagonales y el segmento que une los puntos medios M1, M3 de un par de lados opuestos se convierten en las diagonales del paralelogramo M3d2M1d1. Y estas diagonales rojas (como se muestra en rojo en la figura) se cruzan en O.

Entonces, ahora tenemos que demostrar que M2M4 también pasa a través de O. Entonces se realizará nuestra prueba.

Nos unimos a O y M2 y también a O y M4. & probar que estos 2 segmentos de línea son colineales.

En el triángulo OM1M2 y el triángulo OM3M4, los segmentos rojos son iguales y los segmentos de lápiz son iguales & <M2M1M3 = <M1M3M4 (ángulos alternos internos formados por // líneas M2M1 y M3M4. (Como M1M2M3M4 es un paralelogramo)

=> tri OM1M2 es congruente con tri OM3M4 (por criterio de congruencia SAS)

Entonces, <M1OM2 = <M3OM4 (cpct)

Pero M1, O, M3 son colineales (ya que todos estos puntos se encuentran en la diagonal roja)

Entonces, los ángulos mencionados anteriormente <M1OM2 y <M3OM4 se convierten en ángulos verticalmente opuestos.

es decir, M2OM4 es una línea recta

De esta manera, los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales son concurrentes. Como todos estos pasan por el mismo punto O.

[Por lo tanto probado]

Answer 2

Deje que [matemáticas] A (x_1, y_1), B (x_2, y_2), C (x_3, y_3) [/ matemáticas] y [matemáticas] D (x_4, y_4) [/ matemáticas] formen un cuadrilátero.

…………………………………… ..

Punto medio del lado [matemática] AB [/ matemática], [matemática] P = (\ dfrac {x_1 + x_2} 2, \ dfrac {y_1 + y_2} 2) [/ matemática]

Punto medio del lado [matemática] CD [/ matemática], [matemática] R = (\ dfrac {x_3 + x_4} 2, \ dfrac {y_3 + y_4} 2) [/ matemática]

Punto medio del segmento PR, [matemática] T = (\ dfrac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} 4, \ dfrac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} 4) [/ matemática]

Del mismo modo, el punto medio del segmento [matemática] QS [/ matemática], [matemática] (\ dfrac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} 4, \ dfrac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} 4) [/ matemática] que es igual como [matemáticas] T [/ matemáticas].

……………………………………….

Punto medio de diagonal [matemática] AC [/ matemática], [matemática] L = (\ dfrac {x_1 + x_3} 2, \ dfrac {y_1 + y_3} 2) [/ matemática]

Punto medio del lado [matemática] BD [/ matemática], [matemática] M = (\ dfrac {x_2 + x_4} 2, \ dfrac {y_2 + y_4} 2) [/ matemática]

Punto medio del segmento [matemática] LM [/ matemática], [matemática] (\ dfrac {x_1 + x_3 + x_2 + x_4} 4, \ dfrac {y_1 + y_3 + y_2 + y_4} 4) [/ matemática] que es igual a [matemáticas] T [/ matemáticas].

Entonces, las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos y los puntos medios de las diagonales son concurrentes.

Demostrado.

No solo son concurrentes, se bisecan entre sí.

Answer 3

Deje que ABCD sea un cuadrilátero. Únete a las diagonales AC y BD. Deje que AC y BD se crucen en T. Luego, únase a los puntos medios de AB (digamos P), BC (digamos Q), CD (digamos R) y DA (digamos S).

PQ es paralelo a AC y la mitad. RS es paralelo a AC y la mitad.

QR es paralelo a BD y la mitad. SP es paralelo a BD y la mitad.

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo. Las diagonales PR y QS se bisecan entre sí en O.

En el triángulo ABD, SP es paralelo a DB y la mitad, por lo que T debe ser el punto medio de BD. De nuevo en el triángulo ABC, PQ es paralelo a AC y la mitad de este, por lo que T debe ser el punto medio de AC. Así es el punto medio de AC y BD. Por lo tanto, O del paralelogramo PQRS y T, la intersección de las diagonales AC y BD debe coincidir.

Entonces, las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero son concurrentes.