¿La respuesta será la misma cuando se usan coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas para el mismo problema?

Answer 1

Si está haciendo una pregunta invariante de coordenadas, tendrá una respuesta invariante de coordenadas.

Si está haciendo una pregunta como “cuál es el primer componente” [o, en este caso, dependiendo de sus convenciones de denominación, “cuál es el componente r”], la respuesta generalmente será no.

Sin embargo, si está haciendo preguntas invariantes de coordenadas que pueden expresarse únicamente en términos de las cantidades mismas en lugar de las coordenadas individuales, entonces la respuesta también será la misma.

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Un poco más preciso (y más generalmente): si está buscando un objeto matemático de cierto tipo que generalmente se transforma bajo transformaciones de coordenadas de una manera determinada, cambiar las coordenadas hará que su respuesta se transforme de esa manera.

Por ejemplo: si está haciendo una pregunta sobre vectores que es invariante a la rotación, luego de una rotación de su “pregunta”, su respuesta será “rotada” de la manera apropiada (como un vector si es un vector, no si es un escalar, en ambas coordenadas si es un tensor, etc.).

Por lo tanto, depende de la pregunta, pero para el tipo de pregunta que con suerte estaría haciendo, sí.

Answer 2

Suponga que las respuestas diferirán según el sistema de coordenadas elegido para describir y resolver un problema. Eso probaría que los sistemas de coordenadas no pueden mapearse entre sí biyectiva, lo que sí pueden.

Hay algunos puntos “neurálgicos” en los sistemas de coordenadas que trabajan con ángulos y longitud escalar de un vector que debe tener en cuenta. Si encuentra resultados diferentes (una vez mapeados entre sí o con coordenadas cartesianas), es muy probable que, si no es así, simplemente muestre un error que cometió al encontrar la solución.

Un sistema de coordenadas se ajustará mejor a un problema, lo que será obvio por la simetría de la geometría de un problema. De hecho, si hay simetría rotacional a lo largo de un solo eje, la elección de cilíndrico o esférico puede ser una cuestión de gustos, pero al final solo tiene diferentes representaciones de los mismos puntos.

Permítanme terminar esto con un ejemplo bidimensional que ilustra cómo puede salir mal de todos modos. Tome un tablero de dardos e intente determinar la probabilidad de golpearlo dentro del círculo interno de la mitad del radio, suponiendo una distribución equitativa de los puntos de golpe de dardos en coordenadas cartesianas y haciendo caso omiso de los dardos que no golpean el tablero en absoluto (por lo que asume que no apunta el llamado ojo de buey en absoluto).

Si piensa en la simetría de las coordenadas polares de dividir el disco interno con medio radio y el anillo externo (el anillo que queda al retirar ese disco interno de todo el tablero), simplemente el resto del tablero, cualquier punto en el tablero de dardos puede ser visto como una coordenada polar con algún ángulo sin importancia debido a la simetría y una distancia desde el punto central. ¿Sugeriría que las probabilidades son 50:50, porque la mitad de los puntos de golpe de los dardos tendrán una distancia por debajo y la otra mitad de los puntos de golpe tendrá una distancia por encima de la mitad del radio del tablero de dardos?

Piénsalo. Una pista: debe transformar el significado de la distribución equitativa de los puntos de golpe en coordenadas cartesianas en coordenadas polares. Si se pierde este punto (no se ría, ese juego de palabras es demasiado inevitable) y se olvida de aplicar este principio y requisito previo, puede llegar al resultado incorrecto. Pero esto no se debe a la naturaleza de los sistemas de coordenadas.

Answer 3

¡Si y no!

Si calcula si dos aviones colisionarán en coordenadas esféricas y cilíndricas, las dos respuestas estarán de acuerdo. La realidad objetiva es invariable y no se puede evitar un desastre simplemente cambiando el sistema de coordenadas.

Pero las dos descripciones de la realidad pueden parecer muy diferentes. Entonces, si ‘la respuesta’ involucra el sistema de coordenadas, obtendrá diferentes respuestas. por ejemplo, si modela una Tierra esférica usando coordenadas esféricas, entonces cada punto tendrá el mismo valor de r . Si (perversamente) elige utilizar coordenadas cilíndricas, entonces el valor r será una función de la coordenada z . Entonces, si la pregunta es “¿En qué radio ocurre la colisión?”, ¡Obtendrá diferentes respuestas!

El hecho de que los sistemas de coordenadas sean equivalentes y produzcan los mismos resultados físicos no significa que uno no sea más conveniente que otro. Algunos problemas se simplifican enormemente si toma las decisiones correctas sobre los sistemas de coordenadas.

Answer 4

La elección del sistema de coordenadas no puede cambiar la respuesta. La forma de la respuesta probablemente será diferente, ya que se expresará utilizando una base diferente, pero las dos formas serán necesariamente equivalentes y transformables entre sí (a menos que una de ellas esté equivocada, por supuesto).

Answer 5

A2A: Dado que cada respuesta se expresará en el sistema de coordenadas que utilizó para resolver el problema, las respuestas no se verán idénticas inicialmente. Sin embargo, si realiza la transformación de coordenadas adecuada en una de las soluciones, verá que son equivalentes. En la mayoría de los casos, es probable que uno de los sistemas de coordenadas dificulte mucho más el cálculo de la solución.

Answer 6

Si el problema permite tanto la transformación de coordenadas cilíndricas como las coordenadas esféricas polares, esto dará la misma respuesta sin importar el método que utilice. El jacobiano se encargará de la transformación. Gracias a Jacobian sin ellos, la transformación sería difícil de realizar y darían diferentes respuestas al mismo problema.