Tenemos dualidad entre los diagramas de Voronoi y la triangulación de Delaunay; primero tendríamos que establecer que el dual de cada teselación tendrá un dual válido.
El diagrama muestra un diagrama de Voronoi en rojo y su triangulación dual de Delaunay en negro. Lo primero que notamos acerca de los dos es que cada borde en el DT es perpendicular a un borde en el VD, de hecho, los bordes VD son bisectrices perpendiculares de los bordes del DT.
Ahora comencemos con un conjunto aleatorio de polígonos y veamos si podemos construir un DT cuyo dual le dé al
- Cómo demostrar que la suma de ángulos en un triángulo es 190 grados como una falla
- Deje que ABC sea un triángulo con AB mayor que AC. Sea P un punto en la línea AB más allá de A, de modo que AP + PC = AB. Sea M el punto medio de BC y sea Q un punto en AB de modo que CQ sea perpendicular a AM. ¿Cómo se prueba que BQ = 2AP?
- ¿Por qué la pendiente de una línea parpendecular es -1?
- Supongamos que hay un triángulo rectángulo. El área del triángulo es 84 y la hipotenusa es 25. ¿Cómo encontrarías el perímetro de este triángulo? No se puede asumir el triple pitagórico que muchos de ustedes conocen.
- Si cada lado del cuadrado aumenta a una velocidad de 2 cm / s, ¿qué tan rápido aumenta su área cuando el área del cuadrado es de 25 cm ^ 2?
Comencemos con este conjunto de polígonos en negro. Ahora elegimos algún punto A dentro de uno de los polígonos y tomamos la hipótesis de que este es uno de los vértices de la triangulación de Delaunay. Si reflejamos el punto A en los bordes del polígono obtenemos los puntos B, C y D. También reflejamos los puntos B y C en los bordes del polígono, dando los puntos E y F. Para que A sea un vértice de la triangulación entonces deberíamos tener C = E y también F = D.
Si solo tenemos dos vértices de los que preocuparnos, podemos hacer coincidir dos pares de puntos. Pero agregue un polígono adicional
y terminamos con demasiadas condiciones para satisfacer a la vez.
Podemos hacer esto un poco más concreto. Primero toma un vértice del polígono. Para simplificar, solo tomamos uno con tres aristas y ángulos α, β, γ entre ellos.
Ahora uno de los vértices P del
Ahora los vértices de la triangulación de Delaunay deben estar en las líneas discontinuas azules. Sabemos que los ángulos entre las líneas azules y los bordes del polígono deben ser iguales, entonces θ = θ ‘, ψ = ψ’, φ = φ ‘. También tenemos α = ψ + φ, β = θ + ψ, γ = θ + φ, α + β + γ = 360 °. Para encontrar θ tome β + γ = 2 θ + ψ + φ = 2 θ + α. Agregue α a ambos lados 360 ° = α + β + γ = 2 θ + ψ + φ = 2 θ + 2 α, dando la relación θ = 180 ° – α.
A continuación, tomamos un polígono en una teselación y aplicamos este cálculo a tres vértices.
Si fuera posible una triangulación de Delaunay, las tres líneas tendrían que cruzarse.
De hecho, encontramos que esto coloca algunas condiciones bastante estrictas de una teselación para ser un diagrama de Voronoi.