Cómo justificar estos cuatro puntos están todos en el mismo plano, P (1,2,3), Q (7, -12), R (-36, -8) y S (3,3, -9) y evaluar el área dentro de los cuatro puntos

Answer 1

¿Cómo verifica si cuatro puntos, cuyas coordenadas se conocen, son coplanares?

A partir de estos cuatro puntos, genere tres vectores co-terminales y determine su producto triple escalar. Los cuatro puntos son coplanares si y solo si el valor del producto triple escalar de estos tres vectores es cero, siempre que ninguno de ellos sea cero y no haya dos vectores colineales.

En este caso, los puntos son P [matemáticas] (1,2,3), Q (7, -1,2), R (-3,6, -8) [/ matemáticas] y [matemáticas] S (3 , 3, -9). [/ Matemáticas]

Solo se han mostrado dos coordenadas en la pregunta contra los puntos [matemática] Q [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática]. Supongo que las coordenadas son números de un solo dígito y que las comas se han omitido inadvertidamente.

Luego tenemos tres vectores co-terminales [matemática] \ vec {PQ} (6 \ hat i-3 \ hat j- \ hat k), \ vec {PR} (- 4 \ hat i + 4 \ hat j-11 \ hat k) [/ math] y [math] \ vec {PS} (2 \ hat i + 1 \ hat j-12 \ hat k). [/ math]

Ninguno de estos vectores es cero y ninguno de ellos es colineal.

El producto triple escalar es [math] \ vec {PQ} \ cdot \ vec {PR} \ times \ vec {PS} [/ math]

[matemáticas] = (6 \ hat i-3 \ hat j- \ hat k) \ cdot (-4 \ hat i + 4 \ hat j-11 \ hat k) \ times (2 \ hat i + 1 \ hat j -12 \ hat k) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (6 \ hat i-3 \ hat j- \ hat k) \ cdot (-37 \ hat i-70 \ hat j-12 \ hat k) = -222 + 210 + 12 = 0. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Los vectores [math] \ vec {PQ}, \ vec {PR} [/ math] y [math] \ vec {PS} [/ math] son ​​coplanares.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Los puntos P [math] (1,2,3), Q (7, -1,2), R (-3,6, -8) [/ math] y [matemáticas] S (3,3, -9) [/ matemáticas] son ​​coplanares.

Answer 2

Tres puntos definen un plano. Para demostrar que el cuarto punto también está en el mismo plano, calcule los dos triángulos separados con dos puntos comunes y luego equípelo con el área del cuadrilátero. Igual significa el mismo plano.

Answer 3

Tus cuatro puntos no están en el mismo plano.

Simplemente calcule tres vectores: PQ, PR y PS, restando las coordenadas del punto P de las coordenadas de Q, R y S.

Luego obtenga dos productos cruzados [matemática] PQ \ veces PR [/ matemática] y [matemática] PR \ veces PS [/ matemática]. Si estos dos resultados son algún factor constante múltiple uno del otro, entonces se encuentran en el mismo plano. De lo contrario, están en diferentes planos.

Answer 4

Sus datos de puntos son insuficientes. P (1, 2, 3) y S (3, 3, -9) son dos puntos en el espacio de coordenadas de 3 tuplas, pero Q (7, -12) y R (-36, -8) no lo son.

en general, si tiene cuatro puntos en el espacio de 3 tuplas, elija 3 puntos A, B, C, puede definir un plano, luego verifique si es el cuarto punto en este plano.

si están en un plano, puede transformar el sistema de coordenadas para hacer, por ejemplo, que z sea 0, entonces obtendrá cuatro puntos en el espacio de 2 tuplas, y es más sencillo obtener el área.