Para calcular el volumen de un cubo, necesitamos entender qué es lo que estamos tratando de medir. Si sabemos qué es un cubo, entonces podemos integrarnos sobre el volumen para descubrir qué es.
Entonces, un cubo es una región región tridimensional, de la cual una representación simple es:
[matemáticas] C (s) = [0, s] ^ 3 [/ matemáticas].
Para encontrar el volumen, necesitamos integrar la función del indicador de este volumen en todo el espacio. Un indicador [matemática] I_A (x) = 1 [/ matemática] iff [matemática] x \ en A [/ matemática], y 0 en otra parte. Entonces,
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[matemática] Vol (C (s)) = \ int \ int \ int I_ {C (s)} (x, y, z) \, dx \, dy \, dz [/ math]
= [matemáticas] \ int_0 ^ s \ int_0 ^ s \ int_0 ^ s 1 \, dx \, dy \, dz [/ math]
= [matemáticas] \ int_0 ^ s \ int_0 ^ ss \, dy \, dz [/ matemáticas]
= [matemáticas] s \ cdot \ int_0 ^ ss \, dz [/ matemáticas]
= [matemáticas] s ^ 3 [/ matemáticas].
Entonces, el volumen del cubo es igual a [matemática] Vol (C (s)) = s ^ 3 [/ matemática].
Incluso si dan la respuesta correcta, todas las otras “reglas” para obtener el volumen me parecen arbitrarias. . .
