¿Pueden cruzarse dos líneas paralelas?

Answer 1

El plano euclidiano

En el plano euclídeo, las líneas paralelas no se cruzan.

Elementos de Euclides, Libro I, Definición 23

Las líneas rectas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano y produciéndose indefinidamente en ambas direcciones, no se encuentran en ninguna dirección.

Si se cruzan, entonces no los llamas paralelos.

Pero ese no es el final de la historia. Es útil en matemáticas observar otras geometrías además de la geometría euclidiana, en particular, la geometría proyectiva.

El verdadero plano proyectivo

Puede construir un plano proyectivo a partir del euclidiano agregando una nueva línea, llámela línea al infinito , de modo que cada punto en esa línea corresponda a un conjunto de líneas paralelas (a veces llamado un lápiz de líneas paralelas ) y declare que cada de esas líneas paralelas pasan por ese punto. El espacio resultante se llama plano proyectivo real .

También puede describir el plano proyectivo real axiomáticamente. (Por cierto, hay otros planos proyectivos además del plano proyectivo real). Si haces eso y especificas una de sus líneas para que se llame la línea en el infinito, cuando elimines esa línea, el plano euclidiano queda. Con esa línea en el infinito, es razonable y útil decir que otras dos líneas en el plano proyectivo son paralelas si se encuentran en un punto de la línea en el infinito.

Este diagrama muestra una pieza del plano proyectivo. Puede tomar la línea etiquetada como Orizen como la línea en el infinito. Se muestran tres puntos en esa línea con lápices de líneas paralelas a través de cada uno. (El otro lado de esa línea es más del plano proyectivo).

Answer 2

Prácticamente hablando … bueno, dos líneas paralelas pueden nunca encontrarse. Ese es el punto de que se les llame paralelos.

La respuesta a esta pregunta en realidad depende del tipo de geometría que estés estudiando. Puntos o líneas.

Si es geometría ordinaria, entonces no, nunca se encontrarán, pero si es la geometría no euclidiana, entonces estas líneas se encuentran en el infinito.

El problema anterior también se puede explicar a través de los conceptos en geometría proyectiva :
Existe una línea en el infinito en geometría proyectiva que es el lugar geométrico de todos los puntos de intersección de líneas paralelas. Cualquier representación espacial euclidiana tiene una representación proyectiva, donde en el espacio proyectivo cada línea es circular en lugar de lineal, se encuentra en el infinito.

Por ejemplo,
Una línea A (2x + 3y = 0) = [2 3 1] y una línea B (4x + 6y = 0) = [4 6 1] se cruzan en [3 -2 0] que se encuentra en la línea en el infinito.

Básicamente, si desea explicar el concepto en palabras simples, Infinity es solo nuestra imaginación y no es un concepto real y, por lo tanto, líneas paralelas, ya que las proyecciones en diferentes direcciones se encuentran en un punto y el punto en el que se encuentran simplemente se llama infinito.

Answer 3

En geometría y planos normales, decir que las líneas paralelas se encuentran en el infinito está mal.
Motivo: tome dos líneas X = 2 y X = 3 en un plano, pase lo que pase, nunca se encontrarán, ya que habrá una distancia de una unidad entre ellas.

Sin embargo, puede construir otras formas de geometría, llamadas geometrías no euclidianas. Por ejemplo, puede tomar los puntos habituales del plano y adjuntarles un punto adicional llamado “infinito” y considerar que todas las líneas también incluyen este punto adicional. En este contexto, hay una única ubicación “infinita” donde todas las líneas se encuentran. En una geometría como esta, todas las líneas se cruzan en el infinito, además de cualquier punto finito donde puedan encontrarse.

Ahora supongamos que se nos dan dos líneas que son casi paralelas. es decir, considera la parte de la geometría en consideración como origen, y estas dos líneas parecen ser paralelas, pero tienen una ligera inclinación entre sí. Suponga que el punto donde se encuentran, el ángulo de intersección es 0.00000000005 grados, seguramente no se intersecarán por una larga distancia y, por lo tanto, las líneas se consideran paralelas (ya que son casi paralelas y los cálculos sobre este factor menor no causarían cambios en resultados. También facilitaría los cálculos).

Fuente: ¿Las líneas paralelas se encuentran en el infinito?

Answer 4

No, simplemente porque nunca alcanzan el infinito, pero …

Tomemos, por ejemplo, una inversión circular. Si invierte una línea obtendrá un círculo que pasa por el centro de la inversión del círculo, ese punto es una imagen de Punto en el infinito. Entonces, dos líneas paralelas se cruzan en el punto en el infinito, ya que sus imágenes se cruzan en el punto que es la imagen del punto en el infinito, pero en ese caso las líneas generalmente tienen 2 puntos de intersección.

Esperemos que te hayas dado cuenta de que es solo una cuestión de definición, o permitimos que las líneas lleguen al infinito o no.

Answer 5

En el espacio euclidiano “ordinario” o incluso afín (corrección: plano), las líneas paralelas son, por definición, líneas rectas que no se cruzan.

Un caso particular es el plano afín “completado”, que es isomorfo a un plano proyectivo con una línea pintada de rojo: en él, las líneas paralelas son líneas rectas que se cruzan en el infinito (en nuestra analogía, su punto de intersección es rojo). Del mismo modo, el espacio tridimensional afín completado tiene un plano en el infinito (“un plano rojo”).

Al cambiar a coordenadas homogéneas, como lo hizo, también cambia a la topología del plano proyectivo, donde dos líneas distintas tienen un punto en común y dos puntos distintos tienen una línea en común. En esa topología, el plano afín se define por el hecho de que cualquier transformación que no conserve globalmente la “línea roja” que une todos los puntos cuya última (o, a veces, cero) coordenada es convencionalmente cero (la “línea del infinito”), está prohibido. En el espacio afín, por supuesto, es el plano rojo el que debería conservarse (globalmente). El plano (o espacio) euclidiano tiene la restricción adicional de que su métrica debe conservarse (en el plano afín, pero no en el plano euclidiano, un círculo puede convertirse en cualquier elipse y un cuadrado cualquier paralelogramo).

Answer 6

Dibuja dos líneas paralelas en una hoja de papel. Ahora doble exactamente entre las líneas y luego doble una línea de nuevo. Las dos líneas se convierten en una línea, por lo que técnicamente pueden cruzarse, pero probablemente no sea la respuesta que quiere un profesor de matemáticas. En psicología o teología, es lo que sucede en el matrimonio cuando dos vidas separadas se convierten en una. En este pensamiento poco ortodoxo, la convergencia absoluta es igual a uno y la divergencia ocurre en cualquier otro ángulo que separe las dos líneas, pero aún pueden gravitar juntas. En física, al probar una de las ecuaciones de Einstein, un eclipse solar reveló la luz de las estrellas que se doblaban. También ayuda a probar el punto de que la luz puede retorcerse a una línea recta desde una línea aparentemente paralela desviada.

Answer 7

Okay

Miremos esto desde un punto simple de ti.

Las líneas paralelas nunca se cruzan.

puede intentar pasar líneas paralelas en un espejo plano e incluso después de la reflexión, permanecen paralelas.

Es obvio

eso es lo que son las líneas paralelas.

Pero, demos un giro. Giremos satíricamente un espejo plano en un espejo cóncavo

pasemos un rayo paralelo al eje principal y un rayo a través del centro de curvatura

algo como esto

Y lo que a todos nos dicen es

Las líneas paralelas se cruzan en el infinito para formar una imagen real y ampliada

Piénsalo bien.

Answer 8

En geometría euclidiana, no. El quinto axioma de Euclides, comúnmente conocido como el postulado de la línea paralela, dice (en traducción):

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Esto es directamente equivalente al axioma de Playfair, que dice:

En un plano, dada una línea y un punto que no está en él, a lo sumo se puede dibujar una línea paralela a la línea dada a través del punto.

A partir de este punto, debería poder concluir rápidamente que las dos líneas paralelas no se intersecarán, incluso si las dibuja infinitamente, sin importar qué definición común de esa palabra elija.

Sin embargo, en el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a explorar un mundo sin el quinto axioma y descubrieron que las geometrías además de la geometría euclidiana pueden ser lógicamente consistentes y pueden ser más adecuadas para ciertas situaciones. Los ejemplos incluyen geometrías elípticas e hiperbólicas. En estos, la intersección de líneas paralelas no está axiomáticamente prohibida, lo que significa que es posible.

¡Como la mayoría de las cosas en matemáticas, la respuesta no es el simple sí o no que su maestro de matemáticas de la escuela intermedia hubiera querido que escribiera en el examen!

Answer 9

Las líneas paralelas son, por definición, líneas que se traducen entre sí.

En el plano afín, o espacio afín en general, las líneas paralelas no se cruzan.

En el plano proyectivo, cada par de líneas se cruza, y no existe una noción a priori de la traducción (y, por lo tanto, de ser paralela). Si arreglas un plano afín en el plano proyectivo (de manera equivalente, si eliges el conjunto específico de transformaciones de Mobius que consideras “traducciones” y, por lo tanto, qué pares de líneas consideras que son “paralelas”), entonces puedes decir que líneas paralelas se cruzan en el infinito.

Tenga en cuenta que el plano proyectivo no tiene un punto único en el infinito; Tiene toda una línea proyectiva en el infinito.

Además, hay algo mal con el cálculo que da en los detalles de la respuesta. Digamos que tienes dos líneas

A x + B y + C w = 0
A x + B y + D w = 0

en el plano proyectivo, donde C y D difieren. Restando las dos ecuaciones da (C – D) w = 0; dado que C – D es distinto de cero, w = 0. Al volver a conectarlo, obtenemos A x + B y = 0, por lo que las soluciones son x = B t, y = – A t, w = 0, correspondiente al punto [ -B: A: 0] en espacio proyectivo.

Answer 10

En geometría plana, nunca. Las líneas paralelas se encontrarán con todas las transversales con ángulos alternos interiores / exteriores congruentes y ángulos correspondientes y ángulos interiores suplementarios. Se definen para tener una distancia constante entre ellos. Debido a esto, nunca se encuentran.

Sin embargo, si permite superficies curvas, pueden encontrarse. Observe las líneas longitudinales en la Tierra (como se representa en un globo). Todas las longitudes se encuentran con el ecuador en ángulo recto, lo que muestra que son paralelas. Sin embargo, todas estas líneas paralelas se cruzan en los polos norte y sur.

Answer 11

El infinito no es un número. No es un elemento del conjunto de números reales.

Entonces, mientras decimos libremente que las líneas paralelas se encuentran en el infinito, lo que realmente queremos decir es que no se encuentran en absoluto.

Sin embargo, debemos tener claro que nos estamos refiriendo a un plano euclidiano, donde, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es [matemática] 180 ^ o. [/ Matemática]

En el caso de superficies no euclidianas, las líneas paralelas se encuentran a una distancia finita.

Answer 12

TL: respuesta DNR – bajo una geometría de Riemann (ver arriba).

Consulte este artículo de Quora para obtener más detalles: Hecho con almendras triangulares, De árboles triangulares, Y miel triangular, De abejas triangulares. por Peter James Thomas sobre Peter James Thomas sobre Datos

Answer 13

Si. Esto se debe a que puede acercarse infinitamente a un punto en el exterior del círculo, lo que disminuye la cantidad de curvatura que puede ver.
En escalas infinitesimales, tanto una elipse como un círculo parecen tener curvatura cero y, por lo tanto, aparecen paralelos entre sí. Pero alejarnos nos deshabilita de esta noción.

Answer 14

Todas mis explicaciones están incluidas en la figura adjunta. Solo escribo esto porque el software dice que mi respuesta necesita más detalles.
Las proyecciones son los valores dados por las 2 expresiones, una para la coordenada X y la otra para la Y.
El punto de intersección de las 2 líneas paralelas se llama I en la fig. Pero no hay ningún punto en el eje Y R3 cuya imagen sea I. Esto significa que las líneas de color no tienen un punto común y, por lo tanto, no se interceptan.

Answer 15

Dibuja una línea recta en un huevo. La línea eventualmente se cruzará sola. Como cada línea es paralela a sí misma, sí, es posible.

La respuesta depende de la curvatura de la superficie; se dice que un huevo tiene una “curvatura postiva”, pero se dice que un trozo de papel (donde se encuentra el postulado de gravámenes paralelos de Euclides) es plano.

Answer 16

En geometría euclidiana, nunca. En la geometría euclidiana proyectiva, en un punto de la línea en el infinito. En el espacio real: si el espacio tiene lo que se llama curvatura positiva, las líneas se intersectarán eventualmente, lo que es lo mismo que decir que realmente no existen las líneas paralelas.

Undertand más sobre – Propiedades de líneas paralelas

Answer 17

Depende de su definición de ‘paralelo’.

En el arte, el paralelismo y el cruce de líneas en un punto son variaciones de lo mismo: una especificación de isocurvas con dos parámetros. Necesita tres para definir una línea recta.

Las líneas que se cruzan en un punto son una especie de meta-paralelo (ultraparallelo opuesto).

Answer 18

Las líneas paralelas nunca pueden cruzarse. Pero a menudo se encuentra escrito en los libros de texto que se cruzan en el infinito. Lo cual es solo una declaración vaga que sugiere que nunca lo hacen porque alcanzar el infinito en sí mismo no es posible. Francamente, esta pregunta no tiene sentido.

Answer 19

En el espacio bidimensional, las líneas paralelas nunca se cruzan.
Cuando escribes x como x / w e y como y / w estás convirtiendo tu espacio en 3-D. Luego, esas dos ecuaciones se convierten en dos planos, y dos planos con diferente coeficiente Z no son paralelos entre sí, lo que hace que coincidan en una línea, y el punto (x, y, 0) se encuentra en esa línea.

Answer 20

Se dice que un par de líneas son paralelas si la distancia perpendicular entre ellas es siempre constante. Por lo tanto, nunca se encuentran!

Puede parecer que dos líneas paralelas se encuentran en el infinito, pero esto es solo por la perspectiva, no porque realmente estén convergiendo.

Además, piense en esto; ¿Puedes realmente alcanzar el infinito?