Si tiene un plano xy lleno con una cantidad infinita de líneas verticales cada una en un número real diferente pero las líneas son infinitamente delgadas, ¿el plano está lleno o vacío?

Answer 1

Su pregunta está bailando en torno a un concepto matemático muy complicado que es la generalización de la noción de “longitud” al concepto de “medida”. Supongo que su pregunta es lógicamente equivalente a lo siguiente:

Si cada número real en la recta numérica es un punto y un punto tiene una longitud cero, entonces, ¿cómo puede una suma de ceros llegar a una longitud mayor que cero?

Una discusión verdadera y justa de esta pregunta requiere los trabajos de Georg Cantor, Henri Lebesgue, la hipótesis del continuo y las discusiones reservadas para cursos avanzados de pregrado o posgrado en análisis real. Lamentablemente, es difícil visualizar la solución o responder a esta pregunta porque el concepto de “infinito” es vago y ambiguo.

El número de elementos en un conjunto es su cardinalidad. Hay diferentes grados de infinito. Los números naturales / enteros / enteros / racionales son contablemente infinitos y de cardinalidad aleph-null. Incluso un conjunto con un número infinito de puntos (como los números naturales [1, 2, 3, …]) tiene la medida cero si la cardinalidad del conjunto es aleph-null. Los matemáticos dirían que los números naturales existen “casi en ninguna parte” en la recta numérica real.

Considere: Hay un número infinito de números racionales entre los números naturales 1 y 2, pero el conjunto de números racionales es el MISMO TAMAÑO que los números naturales.

¿Qué es más alucinante? Ambos conjuntos son de medida cero y son conjuntos nulos.

La cardinalidad de los números reales (racionales e irracionales) es de un nivel de infinito “superior”. La hipótesis del continuo afirma que 2 ^ aleph-null = aleph-1 y aleph-1> aleph-null. Ambos son “infinitamente grandes”, pero uno es mucho más grande que el otro.

Para responder a su pregunta: si tiene una línea de grosor cero en CADA número real (en el eje x), y sus líneas tienen una medida definida (distinta de cero), entonces su plano está lleno. Pero, de nuevo, esta no es una simple discusión.

Answer 2

Si cada punto posible en el plano se encuentra en una y una línea vertical (no puede tener dos líneas verticales superpuestas entre sí), entonces el plano está técnicamente lleno.

Se supone que una línea es infinitamente delgada. No estamos hablando de geometría aquí. Un punto no tiene dimensión y una línea es unidimensional.

Además, los números reales. Esto abarcaría todos los valores posibles de x sobre los que se encuentran las líneas verticales, siendo la fórmula x = algo.

Sin importar cómo lo pienses, el avión está lleno.

Answer 3

(Como estamos hablando de matemáticas, una línea no tiene grosor). El plano se llenará realmente, o solo una parte de él, dependiendo del conjunto de números reales que elija. En cualquier caso, según la premisa de la pregunta, el avión no estará vacío.

Por ejemplo: si tiene una línea para cada número real, el avión se llenará;

Si tiene una línea para cada número entero, el plano no se llenará;

Incluso si tiene una línea para cada número racional, el plano no se llenará (sin embargo, las líneas serán densas ).

Answer 4

Lleno por definición. El infinito no está en la línea numérica porque, por más que avance, el número que encuentre se puede aumentar en uno para obtener el siguiente número. El infinito no es un número contable.

El infinito es otro concepto. Un trozo de cuerda, por ejemplo, es infinitamente largo, porque sin importar cuántas veces lo cortes, los trozos nunca irán a tamaño cero.

Answer 5

¿Cada punto del avión está en una de las líneas? Entonces está lleno. ¿La mayoría de los puntos (se vuelve técnico aquí, es la medida de la unión de las líneas cero) en ninguna línea? Entonces está prácticamente vacío.

Si considera que sus líneas son todas las líneas de la forma y = (alguna constante), y usa todas esas líneas, entonces tiene todo el plano en su unión. Si considera que sus líneas son solo las de la forma y = (alguna constante racional), y usa todas esas líneas pero no otras, entonces se pierde casi todo y su avión no está cubierto. Se pierde cada punto con la coordenada y irracional, y esa es la mayor parte de la masa.

Answer 6

El plano se llena siempre que las líneas verticales sean infinitamente largas, y hay una línea vertical para cada número real. No habría ningún punto en el plano que no se encuentre a lo largo de una de las líneas.

Answer 7

Esto es como pintar el plano xy. Esta lleno

Answer 8

Ya sea que haya algo en él o no, un avión es un avión. Geométricamente, lo único que puede estar en él son los puntos .