¿Cómo probarías que un cuadrilátero tangencial con diagonales perpendiculares es una cometa?

Answer 1

Primero probaría que cualquier cometa es una solución (muy fácil)

Entonces elegiría en este orden:

un círculo, centro 0, radio 1 (porque no necesita parámetros adicionales en este caso, siempre puede elegir una cuadrícula para cumplir con esto)

un punto [matemáticas] A (X_a, 0) [/ matemáticas] fuera del círculo

otro punto [matemática] C (X_c, Y_c) [/ matemática], fuera del círculo pero dentro del ángulo formado por los 2 tengents al círculo que cruza el punto A.

dibuja los 4 tengents, se cruzan en los puntos B y D

calcule las ecuaciones de estos tengentes y utilícelas para determinar las coordenadas de B y D

calcular [matemáticas] \ vec {AC}. \ vec {BD} [/ matemáticas]

probar que cuando 0 no está en (AC) ni en el bissector perpendicular de [AC], [math] \ vec {AC}. \ vec {BD} \ neq 0 [/ math]

(eso significa [matemáticas] Y_c \ neq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] {X_c} ^ 2 + {Y_c} ^ 2 \ neq {X_a} ^ 2 [/ matemáticas])

Editar: ahora que lo pienso, incluso podría elegir arbitrariamente [matemáticas] Y_a = 0 [/ matemáticas]

Answer 2

Un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares si la suma del cuadrado de los lados opuestos es igual. Un cuadrilátero es tangencial si la suma de lados opuestos es igual. Entonces, con asignaciones laterales adecuadas [matemáticas] a + c = b + d [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 2 + c ^ 2 = b ^ 2 + d ^ 2. [/ Matemáticas] El primero permite, [matemáticas] a = b + dc [/ math] y haciendo ese reemplazo en el segundo que tenemos,

[matemáticas] (b + dc) ^ 2 + c ^ 2 = b ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow 2c ^ 2 + 2bd-2bc-2cd = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow (cb) (cd) = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] cometa.

Answer 3

Entonces, creo que lo que debe mostrar es que si tiene la construcción anterior, al menos una de las diagonales debe ser una línea de simetría. Es decir, pasa por el origen.

En el diagrama anterior tenemos un cuadrilátero tangente, hemos intentado hacer que las diagonales sean perpendiculares pero sin pasar por el origen. Pero como puede verse, las diagonales no son del todo perpendiculares.

Esto parece estar cubierto en http://forumgeom.fau.edu/FG2010v … que creo que tiene suficiente para mostrar la propuesta.