¿Cuál es el ortocentro de un triángulo cuando los vértices son (8,0) (10,8) (14,0)?
El ortocentro, [matemática] \ text {H}, [/ matemática] de tres puntos, [matemática] \ text {A}, [/ matemática] [matemática] \ text {B}, [/ matemática] y [matemática] \ text {C}, [/ math] es la coincidencia de las tres altitudes de [math] \ triangle \ text {ABC}. [/ math]
Puntos [math] \ text {A}, [/ math] [math] \ text {B}, [/ math] y [math] \ text {C} [/ math] junto con su ortocentro, [math] \ text {H} [/ math] forma un sistema ortocéntrico en el que cada uno de los puntos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, siempre que [math] \ triangle \ text {ABC} [/ math] no sea un triángulo rectángulo.
Los puntos dados son [matemática] \ text {A} \ left (8,0 \ right), [/ math] [math] \ text {B} \ left (10,8 \ right), [/ math] y [ matemática] \ text {C} \ left (14,0 \ right). [/ math]
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Las altitudes del triángulo son paralelas a las perpendiculares a [math] \ vec {\ text {BC}}, [/ math] [math] \ vec {\ text {CA}}, [/ math] y [math] \ vec {\ text {AB}}, [/ math] que son, respectivamente, [math] \ langle -8, -4 \ rangle, [/ math] [math] \ langle 0, 6 \ rangle, [/ math] y [matemáticas] \ langle 8, -2 \ rangle. [/ matemáticas]
Para probar si se trata de un triángulo rectángulo, verifique si alguno de los productos de puntos por pares de estos tres lados (o, de manera equivalente, sus perpendiculares) es cero. [matemáticas] \ vec {\ text {CA}} \ cdot \ vec {\ text {AB}} = -12, [/ math] [matemáticas] \ vec {\ text {AB}} \ cdot \ vec {\ text {BC}} = -56, [/ math] y [math] \ vec {\ text {BC}} \ cdot \ vec {\ text {CA}} = -24. [/ Math] En este caso, ninguno de los productos de punto son cero, por lo que este no es un triángulo rectángulo.
La altitud a [math] \ text {A} [/ math] es el lugar geométrico de [math] \ left (8-8s, 0-4s \ right), [/ math] y la altitud a [math] \ text { B} [/ math] es el lugar geométrico de [math] \ left (10 + 0t, 8 + 6t \ right). [/ Math]
El punto en cualquiera de las alturas donde coinciden está dado por la solución a [matemática] 8-8s = 10 + 0t [/ matemática] y [matemática] 0-4s = 8 + 6t, [/ matemática] que es [matemática] s = – \ dfrac {1} {4}, t = – \ dfrac {7} {6}, [/ math] por lo que el ortocentro es [math] \ text {H} \ left (10,1 \ right) [/ matemáticas]
