Si A y B son dos vectores, ¿cuál es el ángulo entre el eje x y AB?

Si [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec {B} [/ math] son ​​dos vectores definidos como

[matemáticas] \ quad \ vec {A} = a_x \ hat {i} + a_y \ hat {j} + a_z \ hat {k} [/ math]

[matemáticas] \ quad \ vec {B} = b_x \ hat {i} + b_y \ hat {j} + b_z \ hat {k} [/ math]

entonces

[matemáticas] \ begin {align} \ quad \ vec {A} – \ vec {B} \\ & = (a_x \ hat {i} + a_y \ hat {j} + a_z \ hat {k}) – (b_x \ hat {i} + b_y \ hat {j} + b_z \ hat {k}) \\ & = (a_x-b_x) \ hat {i} + (a_y-b_y) \ hat {j} + (a_z-b_z ) \ hat {k} \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ quad | AB | = \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2} [/ matemáticas]

Sea [math] \ theta [/ math] el ángulo entre el vector [math] \ vec {A} – \ vec {B} [/ math] y el eje [math] x [/ math].

Usando el producto punto, tenemos,

[matemáticas] \ left (\ vec {A} – \ vec {B} \ right) \ cdot \ hat {i} = | \ vec {A} – \ vec {B} | \ times | \ hat {i} | \ times \ cos \ theta [/ math]

[matemáticas] \ left ((a_x-b_x) \ hat {i} + (a_y-b_y) \ hat {j} + (a_z – b_z) \ hat {k} \ right) \ cdot \ left (1 \ hat { i} +0 \ hat {j} +0 \ hat {k} \ right) \\ \ qquad = \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2 } \ veces 1 \ veces \ cos \ theta [/ math]

[matemáticas] (a_x-b_x) = \ cos \ theta \ times \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ theta = \ cos ^ {- 1} \ left (\ dfrac {a_x-b_x} {\ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2}} \ right) [/ math]

Ver: ¿Cómo encuentro el ángulo entre un vector y el eje x? El | Socrático

Es bastante autoexplicativo.

Desafortunadamente, trato de no escribir respuestas completas, sino de guiar el OP a una fuente donde puedan hacer las conexiones y resolver el problema.

No creo que Quora sea un foro para la tarea 🙂

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