Si [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec {B} [/ math] son dos vectores definidos como
[matemáticas] \ quad \ vec {A} = a_x \ hat {i} + a_y \ hat {j} + a_z \ hat {k} [/ math]
[matemáticas] \ quad \ vec {B} = b_x \ hat {i} + b_y \ hat {j} + b_z \ hat {k} [/ math]
entonces
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[matemáticas] \ begin {align} \ quad \ vec {A} – \ vec {B} \\ & = (a_x \ hat {i} + a_y \ hat {j} + a_z \ hat {k}) – (b_x \ hat {i} + b_y \ hat {j} + b_z \ hat {k}) \\ & = (a_x-b_x) \ hat {i} + (a_y-b_y) \ hat {j} + (a_z-b_z ) \ hat {k} \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ quad | AB | = \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2} [/ matemáticas]
Sea [math] \ theta [/ math] el ángulo entre el vector [math] \ vec {A} – \ vec {B} [/ math] y el eje [math] x [/ math].
Usando el producto punto, tenemos,
[matemáticas] \ left (\ vec {A} – \ vec {B} \ right) \ cdot \ hat {i} = | \ vec {A} – \ vec {B} | \ times | \ hat {i} | \ times \ cos \ theta [/ math]
[matemáticas] \ left ((a_x-b_x) \ hat {i} + (a_y-b_y) \ hat {j} + (a_z – b_z) \ hat {k} \ right) \ cdot \ left (1 \ hat { i} +0 \ hat {j} +0 \ hat {k} \ right) \\ \ qquad = \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2 } \ veces 1 \ veces \ cos \ theta [/ math]
[matemáticas] (a_x-b_x) = \ cos \ theta \ times \ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2} [/ matemática]
[matemáticas] \ implica \ theta = \ cos ^ {- 1} \ left (\ dfrac {a_x-b_x} {\ sqrt {(a_x-b_x) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 + (a_z-b_z) ^ 2}} \ right) [/ math]