¿Cuál es la razón del incircle y el circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo isósceles?

Sea ABC un triángulo isósceles en ángulo recto y un ángulo ACB = 90 °. Tenemos AC = BC.

Dado que es un triángulo rectángulo, la hipotenusa AB es el diámetro del círculo circunferencial. Sea D el punto medio de AB y el centro del círculo. Dibujar segmento de CD.

Será interesante comprender la posición del centro del círculo para el triángulo rectángulo isósceles. Una vez que haya entendido la figura, el descanso está a solo unos segundos sin el uso de ninguna fórmula.

En triángulo BDC y ADC

BC = AC (dado)

AD = BD y CD es común haciendo que ambos triángulos sean congruentes.

Implica que los ángulos BCD y DCA son iguales, lo que implica que CD es bisector del ángulo ACB.

También tenemos ángulo BDC = ángulo ADC haciendo que cada uno de ellos sea 90 °

Por lo tanto, CD es perpendicular a AB además de ser bisectriz de ángulo ACB. Implica que el centro del círculo se encuentra en el CD y que sea yo.

Suelta perpendiculares IE e IF en AC y BC respectivamente.

Ahora ID = IE = IF = r (radios de incircle) e IF = CE (IFCE es un rectángulo)

El triángulo ICE también es un triángulo rectángulo isósceles

IC ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2

O IC = r√2

Circunradio R = CD = IC + ID = r√2 + r = r (√2 + 1)

Por lo tanto, relación de radios r / R = r / r (√2 + 1) =

1 / √2 + 1 = √2–1 (en denominador de racionalización)

Aquí esbocé esto para el problema

Mira con cuidado

Como la hipotenusa es el diámetro del círculo circunferencial;

Es decir

AB c = Hipotenusa = Diámetro del círculo circunferencial = d

Ahora, dado que el triángulo ABC es un triángulo isósceles recto

Tenemos [matemática] BC \ text {} a = CA \ text {} b = \ dfrac {d} {\ sqrt2} [/ math]

Por lo tanto, el área del triángulo ABC,

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} .BC.CA = \ dfrac {1} {2}. \ dfrac {d} {\ sqrt2}. \ dfrac {d} {\ sqrt2} = \ dfrac {1 } {4} .d ^ 2 [/ matemáticas]

También por propiedad de incircle tenemos,

Área del triángulo ABC [matemáticas] = \ dfrac {1} {2} .r_i.P [/ matemáticas]

Aquí [math] r_i [/ ​​math] es el radio de incircle y P es el perímetro del triángulo ABC

[matemáticas] P = a + b + c = \ dfrac {d} {\ sqrt2} + \ dfrac {d} {\ sqrt2} + d = d (\ dfrac {2+ \ sqrt2} {\ sqrt2}) = d (\ sqrt2 + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

Área del triángulo ABC [math] = \ dfrac {1} {2} .r_i.d (\ sqrt2 + 1) [/ math]

Ahora iguala el área del triángulo ABC

Obtenemos,

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} .d ^ 2 = \ dfrac {1} {2} .r_i.d (\ sqrt2 + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r_i = \ dfrac {d} {2 (\ sqrt2 + 1)} [/ matemáticas]

También el radio del círculo circunferencial [matemáticas] r_c = \ dfrac {d} {2} [/ matemáticas]

Así,

Ratio de radios

[matemáticas] \ dfrac {r_i} {r_c} = \ dfrac {1} {(\ sqrt2 + 1)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt2–1 [/ matemáticas]

Ratio de áreas

[matemáticas] \ dfrac {A_i} {A_c} = \ dfrac {1} {(2 \ sqrt2 + 3)} = 3-2 \ sqrt2 [/ matemáticas]

Espero eso ayude

La hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita; el radio es el lado corto [matemática] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemática]

El círculo no es tan simple: el radio es

lado corto [matemática] \ frac {2 – \ sqrt {2}} {2} [/ matemática]

Si desea la proporción de los radios, en lugar de (por ejemplo) las áreas, es [math] \ sqrt {2} – 1 [/ math].

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