Las matematicas del pensamiento humano
Este año se cumple el 150 aniversario de la publicación del libro que preparó la escena para la introducción de la computadora un siglo después: Las leyes del pensamiento de George Boole , publicado por primera vez en 1854. El avance dramático que el libro representa se refleja hoy en nuestro uso de los términos “lógica booleana” o “álgebra booleana” para referirse a la combinación de ideas usando las operaciones AND, OR y NOT, y nuestro uso del término “búsqueda booleana” para referirse a una base de datos o búsqueda en la Web que involucra combinaciones de teclas palabras que usan AND, OR y NOT. (El hecho de que generalmente no capitalizamos “boole” en esos contextos indica cuán penetrante ha sido la influencia de Boole).
El libro de Boole comienza con estas palabras:
El diseño del siguiente tratado es investigar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente por las cuales se realiza el razonamiento; para darles expresión en el lenguaje simbólico de un cálculo, y sobre esta base para establecer la ciencia de la lógica y construir su método.
Por la frase “el lenguaje simbólico de un cálculo”, Boole se refería al álgebra. No solo el uso de símbolos algebraicos como x, y, z, p, q, r para denotar palabras, frases o proposiciones desconocidas. Eso lo habían hecho los lógicos de la antigua Grecia. De lo que estaba hablando Boole era de usar todo el aparato de la clase de álgebra de la escuela secundaria, con operaciones como la suma y la multiplicación y el empleo de métodos para resolver ecuaciones. El álgebra de Boole requería la formulación de un lenguaje simbólico de pensamiento. Resolver una ecuación en ese idioma no conduciría a una respuesta numérica; daría la conclusión de un argumento lógico. Su álgebra iba a ser un álgebra de pensamiento.
Incluso hoy, en el siglo XXI, cuando estamos familiarizados con las computadoras, las “máquinas pensantes” que son descendientes directos del álgebra lógica de Boole, parece una idea audaz escribir ecuaciones algebraicas que describen la forma en que pensamos. ¿Qué llevó a Boole a proponer tal cosa y por qué pensó que podría tener éxito?
George Boole nació en Inglaterra en 1815. Aunque el mundo lo consideraría un matemático, de hecho, uno de los matemáticos más influyentes de todos los tiempos, compartió sus intereses entre las matemáticas y la psicología. Si estuviera vivo hoy, sin duda se referiría a sí mismo como un científico cognitivo, un término que se utilizó por primera vez a principios de la década de 1950. Fue en gran medida autodidacta, y puede haber sido la ausencia de un maestro que lo alejara de una idea tan absurda que le permitió tratar de capturar los patrones de pensamiento por medio del álgebra. La marca de su genio es que tuvo éxito hasta tal punto.
Boole publicó por primera vez su álgebra de pensamiento en 1847 en un pequeño folleto titulado El análisis matemático de la lógica. La forma más sencilla de describir el contenido de este folleto es citar de la sección inicial.
Quienes conocen el estado actual de la teoría del álgebra simbólica, son conscientes de que la validez de los procesos de análisis no depende de la interpretación de los símbolos que se emplean, sino únicamente de las leyes de su combinación. Todo sistema de interpretación que no afecta la verdad de las relaciones supuestas, es igualmente admisible, y es así que los mismos procesos pueden, bajo un esquema de interpretación, representar la solución de una pregunta sobre las propiedades del número, bajo otro, el de un problema geométrico, y debajo de un tercio, el de un problema de dinámica u óptica. … Es sobre la base de este principio general, que me propongo establecer el cálculo de la lógica …
Vale la pena leer el pasaje anterior por segunda vez. Boole hizo que cada palabra contara.
Como resultado de su nuevo álgebra de lógica, en 1849 Boole fue nombrado presidente de matemáticas en el recién fundado University College, Cork. Tan pronto como estableció su residencia en Irlanda, comenzó a trabajar en un libro más grande sobre su nueva teoría. Estaba particularmente interesado en asegurarse de que sus matemáticas realmente captaran las leyes de la actividad mental, y con este fin, pasó mucho tiempo leyendo literatura psicológica y familiarizándose con lo que los filósofos tenían que decir sobre la mente y la lógica.
Utilizó su propio dinero y el de un amigo para publicar su segundo libro más sustancial sobre sus ideas en 1854. Su título completo era Una investigación de las leyes del pensamiento sobre las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades. pero generalmente se conoce más simplemente como Las leyes del pensamiento. En general, la única diferencia sustancial entre el libro de 1854 y el folleto anterior de 1847 fue la adición de su tratamiento de probabilidad, utilizando su nuevo marco algebraico. La lógica en sí fue en gran medida sin cambios.
La idea de Boole era tratar de reducir el pensamiento lógico a la solución de ecuaciones, un santo grial lógico desde que el matemático alemán Gottfried Leibniz había intentado hacerlo en el siglo XVII. Leibniz intentó desarrollar un “álgebra de conceptos”, en el cual los símbolos algebraicos habían denotado conceptos, como grande, rojo, hombre, mujer, unicornio, pero había tenido un éxito limitado.
Boole quería que su álgebra abarcara todas las ideas de Aristóteles sobre el razonamiento humano (el famoso silogismo griego “Todos los hombres son mortales”), así como la lógica de proposiciones de los estoicos (a lo que ahora nos referimos como cálculo proposicional). Tomó sus símbolos x, y, z, etc. para denotar colecciones arbitrarias de objetos. Por ejemplo, la colección de todos los hombres, la colección de todos los mortales, la colección de todos los banqueros o la colección de todos los números naturales. Luego mostró cómo hacer álgebra con símbolos que denotan colecciones, escribir y resolver ecuaciones, de una manera que corresponde a realizar deducciones lógicas.
Para poder escribir y resolver ecuaciones algebraicas que involucran colecciones, Boole tuvo que definir qué significaba agregar y multiplicar dos colecciones. Dado que su álgebra tenía la intención de capturar algunos de los patrones del pensamiento lógico, sus definiciones de suma y multiplicación tenían que corresponder a algunos procesos de pensamiento básicos. Además, sería más fácil hacer álgebra si pudiera definir la suma y la multiplicación de tal manera que tuvieran muchas de las propiedades familiares de la suma y la multiplicación de números, haciendo que su nuevo álgebra de pensamiento sea similar al álgebra a la que todos estaban acostumbrados.
Aquí está lo que hizo. Dadas las colecciones x e y, Boole denota la colección de objetos comunes a x e y por xy. Por ejemplo, si x es la colección de todos los alemanes e y es la colección de todos los marineros, entonces xy es la colección de todos los marineros alemanes.
La definición de suma de Boole fue más complicada de lo que debía ser, por lo que otros matemáticos de la época la modificaron a la siguiente idea simple: x + y es la colección de objetos que están en x o y o en ambos. Por ejemplo, si x es la colección de todos los bolígrafos rojos e y es la colección de todos los bolígrafos azules, entonces x + y es la colección de todos los bolígrafos que son rojos o azules.
Con estas definiciones de multiplicación y suma, el sistema de Boole tenía las siguientes propiedades:
x + y = y + x
xy = yx
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
x ( yz ) = ( xy ) z
x ( y + z ) = xy + xz
Estas ecuaciones deberían resultar familiares para la aritmética ordinaria, donde las letras denotan números. Son las dos leyes conmutativas, las dos leyes asociativas y la ley distributiva. Debido a las similitudes entre el álgebra de colecciones de Boole y la aritmética ordinaria, Boole pudo realizar cálculos en su sistema, es decir, manipulaciones algebraicas como resolver ecuaciones. Sin embargo, resolver una ecuación en el sistema de Boole no corresponde a la aritmética sino al razonamiento lógico sobre … bueno, sobre lo que los símbolos significan: hombres, mujeres, unicornios, qué preparar para la cena, etc. Es verdad, resolver ecuaciones booleanas no es necesariamente la mejor manera de tomar una decisión humana. Pero el punto era que los patrones de pensamiento lógico podían representarse por medio del álgebra. Hasta dónde llegaría eso en la vida real era una pregunta para las generaciones posteriores.
Hay más similitudes entre el sistema de Boole y el álgebra ordinaria. Por ejemplo, en la aritmética ordinaria, el número 0 es especial: agregar 0 a cualquier número deja el número sin cambios. Para que su álgebra funcione, Boole también necesitaba un cero. Lo obtuvo tomando 0 para ser la colección vacía.
Una ventaja de tener un 0 es que proporciona una forma de escribir una ecuación algebraica que dice que no existen varias cosas. Por ejemplo, en el álgebra de Boole podemos expresar el hecho de que los unicornios no existen dejando que x sea la colección de todos los unicornios y escribiendo la ecuación x = 0.
Con 0 definido como la colección vacía, el símbolo 0 tiene las mismas propiedades especiales en el álgebra de colecciones de Boole que en el álgebra ordinaria:
x + 0 = x
x 0 = 0
para cualquier colección x.
Aunque el álgebra de Boole tenía muchas de las propiedades del álgebra ordinaria, no era exactamente lo mismo. Boole realmente tuvo que trabajar con un extraño y nuevo tipo de álgebra. Por ejemplo, en el álgebra de Boole, las siguientes dos ecuaciones son verdaderas:
x + x = x
xx = x
Estas ecuaciones ciertamente no son ciertas para la aritmética ordinaria.
Por cierto, el sistema axiomático al que los matemáticos de hoy se refieren como “álgebra booleana” no se debe a Boole. Más bien, fue desarrollado por otros matemáticos que se basaron en el trabajo original de Boole.
Al reducir el razonamiento a álgebra, Boole abrió la posibilidad de construir una máquina de razonamiento. Incluso hoy en día, es difícil imaginar que algún tipo de máquina mecánica o electrónica pueda razonar de la manera en que los humanos hacen, digamos, la política local. ¿Qué puede saber una máquina sobre el gobierno local? Por otro lado, incluso en los días de Boole parecía perfectamente posible construir una máquina que pudiera manipular símbolos algebraicos de acuerdo con algunas reglas generales.
De hecho, las reglas que Boole presentó para manipular expresiones algebraicas y para resolver ecuaciones en su sistema eran lo suficientemente mecánicas como para que el lógico inglés WS Jevons pudiera usarlas para construir una máquina de razonamiento mecánico que demostró a la Royal Society en 1870. No es sorprendente, Dada la tecnología predominante en ese momento, el dispositivo de Jevons parecía todo el mundo como una caja registradora mecánica de estilo antiguo. Pero a pesar de su aspecto anticuado, como implementación de la lógica, fue un ancestro impresionante de la computadora electrónica moderna.
La computadora electrónica de hoy es, en el fondo, solo una implementación en silicio del álgebra de pensamiento de Boole, con corrientes de electrones que realizan las operaciones algebraicas de Boole. Las compuertas OR y las compuertas AND sobre las que puede leer en los libros que describen cómo funcionan las computadoras se corresponden directamente con las operaciones algebraicas de suma y multiplicación de Boole. En la columna del mes pasado describí cómo el matemático John von Neumann desempeñó un papel clave en el diseño de una de las primeras computadoras electrónicas a principios de la década de 1950. Fue el trabajo teórico de George Boole un siglo antes el que preparó los fundamentos sobre los cuales von Neumann y sus colegas ayudaron a marcar el comienzo de la era informática actual.
La columna de este mes está resumida en mi libro Goodbye Descartes: The End of Logic and the Search for a New Cosmology of the Mind, publicado por John Wiley en 1997. Para más información sobre George Boole, y el desarrollo de la lógica y su papel en el invención de la computadora moderna, consulte ese libro.
Para una cobertura más profunda del uso del lenguaje en las matemáticas, pero aún en un nivel elemental, vea mi libro Conjuntos, funciones y lógica, cuya tercera edición (completamente revisada) acaba de ser publicada por Chapman y Hall.
