Para una función [matemática] f [/ matemática], [matemática] f (2x) = x ^ 2 + x – 2 [/ matemática] para todos los números reales [matemática] x [/ matemática]. Sea [math] a [/ math] y [math] b [/ math] la suma y el producto, respectivamente, de las raíces de la ecuación [math] \ displaystyle f \ left (\ frac x2 \ right) = 4 [ /matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] que satifica la ecuación dada?

Answer 1

TL; DR: [matemáticas] -100 [/ matemáticas]

Tenemos la función [matemáticas] f [/ matemáticas], y se nos da [matemáticas] f (2x) = x ^ 2 + x − 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (\ frac {x} {2 }) = 4 [/ matemáticas].

Podemos ingresar [matemáticas] x / 2 [/ matemáticas] igual a [matemáticas] 2x [/ matemáticas]: [matemáticas] f (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]. Esto también es equivalente a [math] f (2 \ cdot \ frac {x} {4}) [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] f (2 \ cdot \ frac {x} {4}) = (\ frac {x} {4}) ^ 2 + (\ frac {x} {4}) – 2 [/ matemáticas]. Sin embargo, ya sabemos que [matemáticas] f (\ frac {x} {2}) = 4 [/ matemáticas]. Así:

[matemáticas] (\ frac {x} {4}) ^ 2 + (\ frac {x} {4}) – 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {x ^ 2} {16}) + \ frac {x} {4} -2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {x ^ 2} {16}) + \ frac {x} {4} -6 = 0 [/ matemáticas].

Para facilitarnos las cosas, podemos multiplicar ambos lados por 16 para eliminar las fracciones.

[matemáticas] x ^ 2 + 4x-96 = 0 [/ matemáticas].

Existe un conjunto de fórmulas que le permiten encontrar las sumas y productos de las raíces de cualquier polinomio en función de sus coeficientes. Estas se llaman fórmulas de Vieta.

Para un polinomio cuadrático, la suma de sus dos raíces es [matemática] – \ frac {b} {a} [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] es el primer coeficiente y [matemática] b [/ matemática ] es el segundo. El producto de sus dos raíces es [math] \ frac {c} {a} [/ math], donde [math] c [/ math] es el tercer coeficiente, o en este caso, constante.

Por lo tanto, la suma de las raíces es [matemática] – \ frac {4} {1} = – 4 [/ matemática], y el producto es [matemática] \ frac {-96} {1} = – 96 [/ matemática ]

[matemáticas] -4 + (- 96) = – 100 [/ matemáticas]

Fórmulas de Vieta:

Las fórmulas de Vieta son bastante difíciles de abordar a primera vista. Pero hay un patrón fácil que lo hará más fácil de recordar.

Ya sabemos que para un polinomio cuadrático, la suma de sus dos raíces, [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] es [matemáticas] – \ frac {b} {a} [/ matemáticas] , donde [math] a [/ math] es el primer coeficiente y [math] b [/ math] es el segundo. El producto de sus dos raíces es [math] \ frac {c} {a} [/ math], donde [math] c [/ math] es el tercer coeficiente.

Para una función cúbica, ¡hay tres raíces! La suma de esas tres raíces es nuevamente [matemáticas] – \ frac {b} {a} [/ matemáticas]. Sin embargo, también podemos encontrar el valor de las sumas de los productos de dos de las raíces. O en otras palabras, [matemáticas] x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 [/ matemáticas]. Esto es [matemáticas] \ frac {c} {a} [/ matemáticas]. Y finalmente el producto es [matemáticas] – \ frac {d} {a} [/ matemáticas].

Para una función cuártica, hay cuatro raíces. La suma es [matemáticas] – \ frac {b} {a} [/ matemáticas]. [matemática] x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 [/ matemática] es [matemática] \ frac {c} {a} [/ matemática]. [matemática] x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 [/ matemática] es [matemática] – \ frac {d} {a} [/ matemática]. Y finalmente, el producto es [math] \ frac {e} {a} [/ math].

¿Ves a dónde va esto todavía? Cada vez que cambia la cantidad de raíces que está multiplicando y luego sumando, cambia el numerador, alternando entre negativo y positivo. ¡Así lo recuerdo!

Answer 2

Una posible fuente de confusión es la reutilización del símbolo [math] x [/ math]. Eliminemos esa distracción:

Deje [math] y = 2x [/ math]. Entonces

[matemática] f (y) = {1 \ sobre 4} y ^ 2 + {1 \ sobre 2} y – 2 [/ matemática].

Dejando [math] \ displaystyle y = \ frac z2 [/ math], estamos buscando resolver la ecuación

[matemática] 4 = f (\ frac z2) = {1 \ sobre 4} (\ frac z2) ^ 2 + {1 \ sobre 2} (\ frac z2) – 2 [/ matemática].

Esta es una ecuación cuadrática en la variable [matemáticas] z [/ matemáticas], y la suma y el producto de sus raíces están relacionados con los coeficientes de las fórmulas de Vieta – Wikipedia.

Answer 3

[matemáticas] 4 = f (\ frac x 2) = f (2 (\ frac x 4)) = (\ frac x 4) ^ 2 + \ frac x 4 – 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x ^ 2 + 4x – 96 = (x – r) (x – s) = x ^ 2 – (r + s) + rs [/ matemáticas]

La suma de las raíces es [matemática] a = -4 [/ matemática] y el producto es [matemática] b = -96 [/ matemática] [matemática], [/ matemática] entonces [matemática] a + b = -100 .[/matemáticas]

Comprobar: podemos factorizar como

[matemáticas] x ^ 2 + 4x – 96 = (x + 12) (x-8) = 0 [/ matemáticas]

y ver raíces [matemáticas] -12 [/ matemáticas] y [matemáticas] 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 12) (8) + (-12 + 8) = -100 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 4

Anotemos la función: [matemáticas] \ displaystyle f (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas].

En primer lugar, deje que [math] 2x = t [/ math], entonces [math] \ displaystyle \ frac {x} {2} = \ frac {t} {4} [/ math].

sabemos que [math] f (2x) = f (t) = \ displaystyle \ frac {t ^ 2} {4} + \ frac {t} {2} – 2 [/ math].

Por lo tanto, [math] \ displaystyle f (\ frac {x} {2}) = \ frac {t ^ 2} {64} + \ frac {t} {8} – 2 [/ math].

Sustituyendo [math] \ displaystyle \ frac {t} {4} = \ frac {x} {2} [/ math],

Obtenemos [math] \ displaystyle f (\ frac {x} {2}) = \ frac {x ^ 2} {16} + \ frac {x} {4} – 2 [/ math].

La ecuación [matemáticas] f (\ frac {x} {2}) = 4 [/ matemáticas] es equivalente a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 2} {16} + \ frac {x} {4} – 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 2} {16} + \ frac {x} {4} – 6 = 0 [/ matemáticas].

Como [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​raíces,

[matemática] \ displaystyle \ frac {1} {16} (x ^ 2 + 4x – \ frac {3} {8}) = \ frac {1} {16} (xa) (xb) [/ math].

Al comparar los coeficientes de [matemática] x [/ matemática] en ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] -a – b = 4 \ implica (a + b) = -4 [/ matemáticas].

Answer 5

f (2x) = x ^ 2 + x – 2

Reemplace x con u / 2:

f (u) = (u / 2) ^ 2 + u / 2 – 2

(Tenga en cuenta que tanto u como x son solo variables “ficticias”, que se utilizan para definir f ().

Entonces, ahora podemos hacer otra sustitución de una expresión x simple para u).

Reemplace u con x / 2:

f (x / 2) = (x / 4) ^ 2 + x / 4 – 2

Queremos tratar con la ecuación f (x / 2) = 0,

que es equivalente a 16 f (x / 2) = 0,

es decir, x ^ 2 + 4x – 32 = 0.

Esto se puede escribir como (x + 8) (x – 4) = 0.

Entonces las raíces son -8, 4,

con suma -4 y producto -32.

Entonces a + b = -36.

Observe que la suma de las raíces es el negativo del coeficiente de x;

y el producto es el término constante

un resultado estándar para ecuaciones cuadráticas,

con una generalización simple a ecuaciones de mayor grado.