¿Cuál es la aproximación más uniforme lineal / cuadrática / cúbica de [math] \ exp (| x |) [/ math] en [math] [- 1,1] [/ math]?

Answer 1

Bueno, dado que esto suena como una pregunta de tarea, voy a hacer lo habitual y dar algunos consejos y sugerencias sobre cómo podría resolverse en lugar de resolverlo yo mismo. Años como tutor me han enseñado que este enfoque le sirve mejor.

Tienes la funcion

[matemáticas] f (x) = \ exp (x), \, \, \, x \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = \ exp (-x), \, \, \, x <0 [/ matemáticas]

Por lo general, hablamos de minimizar la máxima norma 1 en todo el intervalo en este contexto.

Ahora, dependiendo de cómo se formule exactamente el problema, cúbico (por ejemplo) podría significar términos constantes, lineales, cuadráticos y cúbicos, o podría significar solo cúbico y constante, o podría significar solo cúbico. Eso está en orden de dificultad creciente.

El primer caso es fácil: simplemente recuerde la expansión de Taylor de la función exponencial.

El segundo es un poco más difícil. Sin embargo, está limitado por -1 y 1, así que recuerde que en este caso, cuanto más alto sea su término, tenemos un efecto menor.

Deberá resolver el problema:

[math] \ min_ {a \ in \ mathbb {R}} \ max_ {x \ in (0,1)} | \ exp (x) -1-ax ^ i | [/ math]

para [matemáticas] i = 1,2,3. [/ matemáticas]

La tercera opción es más complicada. Lo haría por funciones por partes, lo que realmente significa que lo haría usando un término constante de todos modos. Si eso no está permitido, aunque podría resolverlo, es difícil hacerlo en mi teléfono. Y si realmente se supone que debe hacerlo de esa manera, lo cual dudo, entonces está en una clase en la que será realmente útil aprender a resolver este tipo de cosas usted mismo. Confiar en ti mismo. Ve a las definiciones. Puedes resolverlo.

Answer 2

Una aproximación lineal no es muy informativa, ya que la función dada es simétrica respecto al eje y. Un enfoque relativamente fácil pero no demasiado exacto es obtener la ecuación de la cuadrática aproximada mirando la gráfica de la función dada.

Pasa por (0,1), por lo que nos aproximamos con y = ax ^ 2 + 1.

Para determinar el valor de “a”, use un punto en la curva, como (1, e)

Esto da a = e-1, por lo que la cuadrática es y = (e-1) x ^ 2 + 1

Se puede tomar un enfoque similar con el cúbico, con, por supuesto, más puntos utilizados para determinar los coeficientes desconocidos.

Answer 3

No me queda claro qué es lo que está buscando, por lo que responderé de la forma en que formaría una secuencia de aproximaciones polinómicas.

asumir

y = a1 + a2 | x | + a3 | x | ^ 2 + a4 | x | ^ 3 en [-1,1]

luego haga un ajuste de mínimos cuadrados usando solo los dos primeros términos, los primeros tres, luego los 4.

esto sería exactamente lo mismo que mínimos cuadrados en [0,1] donde podría soltar el ||