Cómo encontrar la cardinalidad de un conjunto de potencia [matemática] \ left | \ mathit {P} (\ mathit {P} (\ mathit {P} (A))) \ right | [/ math] if [math] \ left | A \ right | = m [/ math]

Pregunta originalmente respondida: ¿Cómo encuentro la cardinalidad de un conjunto de potencia [matemática] | P (P (P (A))) | [/ matemática] si [matemática] | A | = m [/ matemática] ?


Bueno, dado que [math] | \ mathscr {P} (A) | = 2 ^ {| A |} [/ math], entonces seguiría que

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (A)) | = 2 ^ {| \ mathscr {P} (A) |} = 2 ^ {2 ^ {| A |}} [/ math].

Aplicar la misma lógica una vez más producirá:

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (\ mathscr {P} (A))) | = 2 ^ {| \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (A)) |} = 2 ^ {2 ^ {| \ mathscr {P} (A) |}} = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {| A |}}} [/ math].


EDICIÓN PRINCIPAL: Como David Smith señaló correctamente en un comentario (https://www.quora.com/How-do-If…), no puedo usar la tetración como se muestra a continuación. ¡La exponenciación es correcta asociativa! Mantengo esta declaración errónea para fines de referencia (de lo contrario, el comentario ya no tendría sentido) y actualizo el texto principal. Puede considerar el texto citado como eliminado. Gracias David por señalar este error elemental. ¡Que tonto de mi parte!

En el caso general tendríamos:

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} ^ {n} (A) | = | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} ^ {n-1} (A)) | = (^ n 2) ^ {| A |} \ tag * {} [/ math]

, donde la notación [matemáticas] ^ n 2 [/ matemáticas] significa 2 tentado a la potencia [matemáticas] n [/ matemáticas].

En el caso general tendríamos:

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} ^ {n} (A) | = | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} ^ {n-1} (A)) | = \ underbrace {2 ^ {2 ^ {\ dots ^ {2 ^ {| A |}}}}} _ {\ text {$ n $ 2’s}} \ tag * {} [/ math]

La tetración [1] no es una operación comúnmente conocida. Básicamente es exponenciación repetida (torres de poder), al igual que la exponenciación puede verse como una multiplicación repetida.

Se define de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle ^ na \ overset {\ textrm {def}} {=} \ underbrace {a ^ {a ^ {\ dots ^ {a}}}} _ {\ text {$ n $ exponents}} \ tag *{}[/matemáticas].

Entonces, como ejemplo, si tomamos el conjunto [matemáticas] A = \ {0, 1 \} [/ matemáticas], entonces tendríamos como respuesta a su pregunta específica:

[matemáticas] | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (\ mathscr {P} (A))) | = (^ 3 2) ^ 2 = \, ^ 4 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65,536 [/ matemáticas] .

Entonces, como ejemplo, si tomamos el conjunto [matemáticas] A = \ {0, 1 \} [/ matemáticas], entonces tendríamos como respuesta a su pregunta específica:

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (\ mathscr {P} (A))) | = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65,536 [/ matemáticas].

Otro ejemplo podría ser el conjunto [math] B = \ {0, 1, 2 \} [/ math], que nos daría:

[matemáticas] \ displaystyle | \ mathscr {P} (\ mathscr {P} (\ mathscr {P} (B))) | = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {3}}} = 2 ^ {2 ^ {8}} = 2 ^ {256} = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 \ aproximadamente 1.2 \ veces 10 ^ {77} [/ matemáticas].

Notas al pie

[1] Tetración – Wikipedia