¿Cuántas secuencias infinitas diferentes de números reales hay? ¿Es [math] \ aleph_1 [/ math] o estrictamente más que eso?

Answer 1

Si [math] A [/ math] es cualquier conjunto, el conjunto de secuencias infinitas de elementos de [math] A [/ math] es [math] A ^ \ mathbb {N} [/ math], y por lo tanto tiene cardinalidad [ matemáticas] | A | ^ {\ aleph_0} [/ matemáticas].

(Por “secuencias infinitas” la gente casi universalmente quiere decir secuencias [matemáticas] a_0, a_1, a_2, \ ldots [/ matemáticas] que están indexadas por los números naturales. Es posible explorar secuencias más largas indexadas por conjuntos ordenados más grandes, pero eso es diferente pregunta.)

En nuestro caso, [math] A = \ mathbb {R} [/ math], por lo que nos preguntamos acerca de la cardinalidad de [math] \ mathbb {R} ^ \ mathbb {N} [/ math]. Esto es simplemente

[matemáticas] \ left (2 ^ {\ aleph_0} \ right) ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0 \ times \ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]

Entonces, hay tantas secuencias infinitas de números reales como números reales.

Esto, sinceramente, no tiene nada que ver con [math] \ aleph_1 [/ math]. La pregunta de si [math] \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] es la famosa hipótesis del continuo que se sabe que no se puede responder en los marcos habituales de la teoría de conjuntos, pero si se considera verdadera o no. falso no cambia el hecho de que

[matemáticas] \ izquierda | \ mathbb {R} ^ \ mathbb {N} \ right | = | \ mathbb {R} | [/ math].

Answer 2

La cardinalidad precisa es la cardinalidad del continuo y la cardinalidad del continuo es ZFC independiente. Esto significa que puede ser [math] \ aleph_1 [/ math] o más, dependiendo de su modelo de ZFC.
Dado que cada secuencia infinita de reales todavía está indexada por números naturales, puede considerarse como una función [math] f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] y luego obtenemos este resultado mediante un simple cardenal aritmética.

Por otro lado, si asume una definición generalizada de “secuencia” en la que se permite que el conjunto de índices sea incontable, el resultado cambia.

Editar: eliminé mi respuesta anterior que decía que siempre es más que [math] \ aleph_1. [/ math] ¡Gracias a Alon Amit por la corrección!

Answer 3

Si uno acepta la premisa de que las únicas cosas que realmente existen son aquellas que tienen una caracterización finita de algún tipo, entonces la cardinalidad del conjunto sobre el que está preguntando es [math] \ aleph_0 [/ math].

En este caso particular, este principio dice que “el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales” es en realidad el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales de los que realmente podemos conocer el contenido. La cardinalidad de este conjunto (y de todos los conjuntos infinitos bajo este principio) es exactamente la cardinalidad de los números de conteo.