La igualdad es una relación entre dos objetos. Más específicamente, es una de las características definitorias del tipo de objeto, y da una indicación general de “similitud” en la medida en que nos interese.
Déjame analizar eso un poco.
Digamos que tengo dos objetos 3 y verde. ¿Son iguales? Ni siquiera son del mismo tipo, por lo que ni siquiera podemos hacer esta pregunta, excepto para decir que no está definida (que es matemática para “es una pregunta sin sentido”).
¿Qué hay de 3 y 4? ¿Son iguales? Bueno, no lo son, pero SOLO si estamos hablando de números naturales. Hemos definido los números naturales, y como tal, hemos definido qué significa igual (que puede ser MUY riguroso), y como se define 3 y 4 claramente no son iguales.
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- Para una función [matemática] f [/ matemática], [matemática] f (2x) = x ^ 2 + x – 2 [/ matemática] para todos los números reales [matemática] x [/ matemática]. Sea [math] a [/ math] y [math] b [/ math] la suma y el producto, respectivamente, de las raíces de la ecuación [math] \ displaystyle f \ left (\ frac x2 \ right) = 4 [ /matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] que satifica la ecuación dada?
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¿Qué pasa con [matemáticas] \ frac {6} {2} [/ matemáticas] y 3? Bueno, eso es un poco complicado. [math] \ frac {6} {2} [/ math] está en el tipo de números racionales, y 3 está en el tipo de números naturales. Sin embargo, tengo una manera de convertir 3 en un número racional [math] \ frac {3} {1} [/ math]. Entonces, hay una relación de equivalencia bien definida entre [matemáticas] \ frac {6} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {3} {1} [/ matemáticas], pero SOLO una vez que convertimos 3 a racional primero. Una interpretación de la relación de equivalencia para los racionales es multiplicar de forma cruzada las fracciones y pregunta si [matemática] (3) (2) = (6) (1) [/ matemática] como números naturales. Son iguales si lo vemos de esta manera. Sin embargo, la conversión (que los matemáticos llaman isomorfismo, o más específicamente un homomorfismo) es necesaria antes de hacer la pregunta.
Entonces, ahora que hemos traído a casa el punto de que los tipos de objetos son importantes, ¿[matemáticas] 8 + 5 = 1 [/ matemáticas]? Si estamos hablando de números naturales, entonces no. Sin embargo, si es el grupo cíclico hecho para representar un reloj (12 números), entonces sí. Por lo general, puede ver el tipo escrito como [math] \ mathbb {Z} _ {12} [/ math], o la ecuación escrita como [math] 8 + 5 \ equiv 1 \ pmod {12} [/ math].
Entonces, la igualdad es una relación, definida para el tipo de objetos en cuestión, y solo para ese tipo. Debe seguir 3 axiomas para que sea una relación de equivalencia.
PD. Existe una relación de equivalencia entre tipos y tipos, así como también entre operaciones y operaciones. Esto ha comenzado algunas discusiones muy modernas en matemáticas.