” ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la longitud lateral de un triángulo inscrito en un círculo?”
¿Quiere decir: cuál es la relación entre el lado de un triángulo equilátero y el radio del círculo en el que está inscrito?
Si es así, dibuja un triángulo equilátero ABC, cuyos lados son todos de longitud x , inscrito en un círculo cuyo centro es O, y dibuja los 3 radios desde el centro del círculo hasta cada vértice del triángulo: OA, OB, OC, todos de longitud r .
Extienda cada radio hasta que se cruce con el lado del triángulo opuesto a cada vértice; por ejemplo, extienda OC hasta que toque el lado AB en un punto M: debido a las propiedades del triángulo equilátero, CM es perpendicular a AB, por lo que El triángulo OMB es en ángulo recto y también tiene un ángulo OBM de 30 grados.
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En este pequeño triángulo OMB, coseno del ángulo OBM = MB / OB = cos (30 grados) = [matemática] \ sqrt {3} / 2 [/ matemática]. Pero MB es la mitad del lado x del triángulo equilátero y OB = r , por lo que tiene:
[matemáticas] x / 2r = \ sqrt {3} / 2 \ implica x = r \ sqrt {3 ~} [/ matemáticas]