¿Cuál es la superficie de las secciones coloreadas (círculo + ‘triángulo’) de la figura de abajo? Radio = 10 los círculos son tangentes entre sí.

Answer 1

El área requerida es el círculo más el área entre los tres círculos de radio [math] r = 10 [/ math] unidades.

El área del círculo es [matemática] \ pi r ^ 2 = 100 \ pi. [/ Matemática]

Une los puntos de los centros de los círculos para obtener un triángulo equilátero con unidades laterales [matemáticas] 20 [/ matemáticas]. Los lados de este triángulo pasan a través de los puntos donde los círculos se tocan.

El área entre los tres círculos es el área del triángulo menos las áreas de los tres sectores formados por este triángulo dentro del círculo.

El área del triángulo equilátero es [matemáticas] \ frac {1} {2} \ veces 20 \ veces 10 \ sqrt 3 = 100 \ sqrt 3. [/ Matemáticas]

El área de cada sector es [matemática] \ pi r ^ 2 \ left (\ frac {\ theta} {360} \ right) = \ pi \ times 10 ^ 2 \ times \ frac {60} {360} = \ frac {50 \ pi} {3}. [/ Matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El área entre los círculos es [math] 100 \ sqrt 3 – 3 \ times \ frac {50 \ pi} {3} = 100 \ sqrt 3 – 50 \ pi. [/ matemáticas]

Entonces, el área requerida = área de un círculo más el área entre los círculos

[matemáticas] = 100 \ pi + 100 \ sqrt 3 – 50 \ pi = 50 \ pi + 100 \ sqrt 3 = 330.2847 [/ matemáticas] unidades cuadradas.

Answer 2

El problema es realmente encontrar el área del “triángulo curvilíneo” sombreada en la figura. A, B y C son los puntos donde los tres círculos son tangentes. Tenga en cuenta que el triángulo ABC es un triángulo equilátero con lado = radio = 10. (¿Por qué es eso?)

Entonces, el área sombreada es el área de ese triángulo menos tres “astillas”. El problema es encontrar el área de la astilla, D es el centro de uno de los círculos. BCD, donde BC está a lo largo de la circunferencia (no el acorde) del círculo es un sector, y su área es 1/6 del área del círculo (de nuevo, ¿por qué es eso?). Entonces, el área de la astilla es el área del sector BCD menos el área del triángulo equilátero BCD.

Answer 3

Estamos buscando el área roja,

Es solo el área del triángulo equilátero grande menos el área de las tres secciones del círculo (rebanadas amarillas)

el lado del gran triángulo equilátero, es igual al doble de la radio de los círculos

entonces el lado del triángulo es igual a 20 unidades

la altura de ese triángulo es igual a

(20 ^ 2–10 ^ 2) ^ 1/2 = 300 ^ 1/2 unidades = 10 (3) ^ 1/2

el área del triángulo es igual a Base * Altura / 2 = 20 * (10 * (3) ^ 1/2) / 2 = 100 * (3) ^ 1/2

El área de cualquiera de los círculos es igual a 100 * Pi

El área de cualquiera de las rebanadas es igual a 1/6 del área total del círculo (porque el ángulo en cualquier triángulo equilátero es igual a 60 grados y el círculo total representa 360 grados), entonces el área de cualquiera de las rebanadas del círculo es igual a

1/6 * 100 * Pi, pero hay tres secciones en el triángulo grande, por lo que el área total de los círculos en el triángulo grande es 3 * 1/6 * 100 * Pi = 50 * Pi

Finalmente, el área roja es el área del triángulo grande menos el área de las tres rebanadas de círculos dentro del triángulo grande

Área roja = 100 * (3) ^ 1 / 2–50 * Pi

si aplicamos las operaciones, el área sería 16.125 unidades de área

Answer 4

El área del triángulo formado entre el centro de los círculos es [math] \ sqrt3r ^ 2 [/ math].

Para obtener el área del espacio entre los círculos, debemos restar tres sectores de área de 60 ° [matemática] \ frac16 \ pi r ^ 2 [/ matemática], de modo que la forma triangular sea ​​[matemática] \ sqrt3r ^ 2- \ frac12 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora agreguemos el círculo [math] \ pi r ^ 2 [/ math], y obtenemos que el área total será [math] \ sqrt3r ^ 2 + \ frac12 \ pi r ^ 2 [/ math].

Con [math] r = 10 [/ math], el área es [math] 100 (\ sqrt3 + \ frac \ pi2) \ simeq330.3 [/ math].

Answer 5