En el triángulo GHJ, K (2,3) es el punto medio del segmento GH, L (4,1) es el punto medio del segmento HJ y M (6,2) es el punto medio del segmento GJ. ¿Cuáles son las coordenadas de G, H y J?

Primero queremos establecer los tres conjuntos de relaciones que se componen de las coordenadas de los puntos finales de cada lado del triángulo y el punto medio que comparten.

………………………………… G (x (G), y (G))

K (2, 3) ………… ..…. O

M (6, 2) …… H (x (H), y (H)) ……………. O

L (4, 1) ………………………… .. O

………………………………………………………… .. J (x (J), y (J))

  1. Lado GH con punto medio K (2, 3):
    1. Para el componente x:
      1. x (H) + [ x (G) – x (H)] / 2 = 2
      2. 2 * x (H) + [ x (G) – x (H)] = 4
      3. x (H) + x (G) = 4
      4. x (H) = 4 – x (G)
    2. Para el componente y:
      1. y (H) + [ y (G) – y (H)] / 2 = 3
      2. 2 * y (H) + [ y (G) – y (H)] = 6
      3. y (H) + y (G) = 6
      4. y (H) = 6 – y (G)
  2. Lado JH con punto medio L (4, 1):
    1. Para el componente x:
      1. ( x (H) + [ x (J) – x (H)] / 2) = 4
      2. 2 * x (H) + [ x (J) – x (H)] = 8
      3. x (H) + x (J) = 8
      4. x (H) = 8 – x (J)
    2. Para el componente y:
      1. y (H) + [ y (J) – y (H)] / 2 = 1
      2. 2 * y (H) + [ y (J) – y (H)] = 2
      3. y (H) + y (J) = 2
      4. y (H) = 2 – y (J)
  3. Lado GJ con punto medio M (6, 2):
    1. Para el componente x:
      1. x (J) + [ x (G) – x (J)] / 2 = 6
      2. 2 * x (J) + [ x (G) – x (J)] = 12
      3. x (J) + x (G) = 12
      4. x (J) = 12 – x (G)
    2. Para el componente y:
      1. y (J) + [ y (G) – y (J)] / 2 = 2
      2. 2 * y (J) + [ y (G) – y (J)] = 4
      3. y (J) + y (G) = 4
      4. y (J) = 4 – y (G)

Ahora podemos simplemente separar las coordenadas x de las coordenadas y, y usar álgebra para aislar cada una de ellas y determinar su posición.

    1. x (H) = 4 – x (G)
    2. x (H) = 8 – x (J)
    3. x (J) = 12 – x (G)

Dado que x (H) = x (H)

4 – x (G) = 8 – x (J)

4 – x (G) – 8 = 8 – x (J) – 8

x (G) – 4 = – x (J)

x (J) = 4 + x (G)

Ahora usa esta relación con 1.c. arriba, ya que x (J) = x (J):

12 – x (G) = 4 + x (G)

12 – x (G) – x (G) – 12 = 4 + x (G) – x (G) – 12

-2 * x (G) = -8

x (G) =, 4

Desde arriba x (J) = 4 + x (G), entonces

x (J) = 4 + 4 = 8

x (H) = 4 – x (G) = 4 – 4 = 0

Ahora hagamos la misma rutina con las coordenadas y.

  1. y (H) = 6 – y (G)
  2. y (H) = 2 – y (J)
  3. y (J) = 4 – y (G)

Como y (H) = y (H),

6 – y (G) = 2 – y (J)

-y (G) = 2 – y (J) – 6 = -y (J) – 4

y (G) = y (J) + 4

y (H) = 2 – y (J)

y (H) + y (J) = 2 – y (J) + y (J), ahora podemos sustituir porque y (J) = 4 – y (G).

y (H) + 4 – y (G) = 2

y (H) + 4 – y (G) – 4 + y (G) = 2 – 4 + y (G)

y (H) = y (G) – 2

De 1. arriba, y (H) = 6 – y (G), entonces:

y (H) + y (H) = y (G) – 2 + y (H)

2 * y (H) = y (G) – 2 + 6 – y (G)

2 * y (H) = 4

y (H) = 2

y (H) = 2 – y (J)

2 = 2 – y (J)

y (J) = 0

y (J) = 4 – y (G)

0 = 4 – y (G)

y (G) = 4

Entonces tenemos H (x (H), y (H)), G (x (G), y (G)) y J (x (J), y (J)). Hemos utilizado los puntos medios de cada lado para encontrar las coordenadas de los ángulos o las puntas del triángulo. Los puntos son:

H (0, 2)

G (4, 4)

J (8, 0)

Deje que [matemáticas] g [/ matemáticas], [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] j [/ matemáticas] sean las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] de [matemáticas] G [/ matemáticas], [ matemáticas] H [/ matemáticas] y [matemáticas] J [/ matemáticas] respectivamente. Entonces

[matemáticas] g + h = 4, h + j = 8, j + g = 12 [/ matemáticas]

Sumando, [matemática] 2 (g + h + j) = 24 [/ matemática] entonces [matemática] g + h + j = 12 [/ matemática]. Entonces podemos leer que [matemáticas] g = 4, h = 0, j = 8 [/ matemáticas].

A riesgo de confusión, use [matemática] g [/ matemática], [matemática] h [/ matemática] y [matemática] j [/ matemática] para las coordenadas [matemática] y [/ matemática],

Calculando como anteriormente, [matemáticas] g = 4, h = 3, j = 0. [/ Matemáticas]

[matemáticas] G (a, b) \ quad H (c, d) \ quad J (e, f) [/ matemáticas]

[matemáticas] (2,3) = \ frac 1 2 (a + c, b + d) \ quad a + c = 4 \ quad b + d = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] (4.1) = \ frac 1 2 (c + e, d + f) \ quad c + e = 8 \ quad d + f = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (6,2) = \ frac 1 2 (a + e, b + f) \ quad a + e = 12 \ quad b + f = 4 [/ matemáticas]

Seis ecuaciones, seis incógnitas, no hay problema.

[matemáticas] a – e = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + e = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2a = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] e = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 4-a = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] bf = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] b + f = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] f = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] d = 6-b = 2 [/ matemáticas]

Solución: [matemáticas] G (4,4) \ quad H (0,2) \ quad J (8,0) [/ matemáticas]

Verificación: puntos medios

[matemáticas] ((4 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (2,3) \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] ((0 + 8) / 2, (2 + 0) / 2) = (4,1) \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] ((4 + 8) / 2, (4 + 0) / 2) = (6,2) \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Supongamos que G es (x1, y1), H (x2, y2) y J (x3, y3)

Ahora como se da K (2,3) es el punto medio de GH

(X1 + X2) / 2 = 2; (Y1 + Y2) / 2 = 3

X1 + X2 = 4; Y1 + Y2 = 6 => 1ra ecuación

También L (4,1) es el punto medio de HJ

X2 + X3 = 8; Y2 + Y3 = 2 => 2a ecuación

Y M (6,2) es el punto medio de JG

X1 + X3 = 12; Y1 + Y3 = 4 => 3ra ecuación

Ahora reste las ecuaciones 2 y 3 de la ecuación 1, obtendremos

X1 + X2– (X2 + X3) – (X1 + X3) = 4–8–12

-2X3 = —16

X3 = 8

Similar,

Y1 + Y2– (Y2 + Y3) – (Y3 + Y1) = 6–4–2

-2Y3 = 0

Y3 = 0

Ahora las ecuaciones 2 y 3 se convierten en

X2 + X3 = 8; Y2 + Y3 = 2

X2 + 8 = 8; Y2 + 0 = 3

X2 = 0; Y2 = 3

X1 + X3 = 12; Y1 + Y3 = 4

X1 + 8 = 12; Y1 + 0 = 4

X1 = 4; Y1 = 4

Por lo tanto, K (4,4) L (0,3) M (8,0) son los puntos requeridos

Deje que las coordenadas de G, H, J sean (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) respectivamente. Luego, según el teorema del punto medio en geometría coordinada

K = {(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2}, L = {(x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2}, M = {(x3 + x1) / 2 , (y3 + y1) / 2}

Según la pregunta que iguala los valores de las variables algebraicas con los valores numéricos, se puede encontrar que

(x1 + x2) / 2 = 2, (y1 + y2) / 2 = 3, (x2 + x3) / 2 = 4, (y2 + y3) / 2 = 1, (x3 + x1) / 2 = 6, (y3 + y1) / 2 = 2

Luego, dividiendo las variables x y y en separadamente => (x1 + x2) = 4, (x2 + x3) = 8, (x3 + x1) = 12

(y1 + y2) = 6, (y2 + y3) = 2, (y3 + y1) = 4

Soluciones de x sumando las tres variables x => 2 (x1 + x2 + x3) = (4 + 8 + 12) = 24 =>

(x1 + x2 + x3) = 24/2 = 12, de manera similar (y1 + y2 + y3) = 12/2 = 6

Restando las ecuaciones individuales de las variables x e y de la suma descubierta de las variables x e y, podemos obtener {x1 = 12–8 = 4,

x2 = 12–12 = 0, x3 = 12–4 = 8} y {y1 = 6–2 = 4,

y2 = 6–4 = 2, y3 = 6–6 = 0}. Entonces los puntos son G (4,4), H (0,2), J (8,0) .ans ..

[math] GKLM [/ math] es un paralelogramo. los segmentos [math] GL [/ math] y [math] KM [/ math] se bisecan entre sí.

[matemáticas] \ vec g = \ vec k + \ vec m- \ vec l [/ matemáticas] (donde [matemáticas] \ vec g, \ vec k [/ matemáticas], [matemáticas] \ vec l [/ matemáticas] y [ matemáticas] \ vec m [/ matemáticas] son ​​pvs

[matemáticas] = (2 \ hat i + 3 \ hat j) + (6 \ hat i + 2 \ hat j) – (4 \ hat i + 1 \ hat j) [/ math]

[matemáticas] = (4 \ hat i + 4 \ hat j) [/ math]

Entonces [matemáticas] G = (4,4) [/ matemáticas]

Del mismo modo, se pueden encontrar [matemáticas] H [/ matemáticas] y J.

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