Definamos este triángulo en un gráfico. Deje que [matemática] B (x_b, y_b) [/ matemática], [matemática] A (x_a, y_a) [/ matemática] y [matemática] C (x_c, y_c) [/ matemática] sean las coordenadas del triángulo.
Nota para que el semicírculo toque ambos lados, ninguno de los ángulos puede ser obtuso.
La ecuación de líneas –
Segmento AB –
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[matemáticas] (y_a-y_b) x- (x_a-x_b) y + (x_ay_b-y_ax_b) = 0 [/ matemáticas]
Segmento AC –
[matemáticas] (y_a-y_c) x- (x_a-x_c) y + (x_ay_c-y_ax_c) = 0 [/ matemáticas]
Segmento BC –
[matemáticas] (y_b-y_c) x- (x_b-x_c) y + (x_by_c-y_bx_c) = 0 [/ matemáticas]
Sea [matemática] P (x_o, y_o) [/ matemática] el punto en BC que es el centro del semicírculo. Los perpendiculares dibujados desde P a los lados AB y AC se encuentran con ellos en los puntos M y N, respectivamente. Si el semicírculo toca los lados AB y AC, entonces estos perpendiculares PM y PN deben ser los radios del semicírculo, por lo tanto, iguales. Por lo tanto –
[matemáticas] PM = PN [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {| (y_a-y_b) x_o- (x_a-x_b) y_o + (x_ay_b-y_ax_b) |} {\ sqrt {(x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2}} = \ dfrac {| (y_a-y_c) x_o- (x_a-x_c) y_o + (x_ay_c-y_ax_c) |} {\ sqrt {(y_a-y_c) ^ 2 + (x_a-x_c) ^ 2}} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {| (y_a-y_b) x_o- (x_a-x_b) y_o + (x_ay_b-y_ax_b) |} {l (AB)} = \ dfrac {| (y_a-y_c) x_o- (x_a-x_c) y_o + (x_ay_c-y_ax_c) |} {l (AC)} [/ math]
Por conveniencia, deje que los puntos B y C estén en el eje X, de modo que los puntos de coordenadas [matemática] y_b = y_c = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a –
[matemática] \ dfrac {| y_ax_o-y_ax_b |} {l (AB)} = \ dfrac {| y_ax_o-y_ax_c |} {l (AC)} [/ matemática]
[matemáticas] \ dfrac {| y_a (x_o-x_b) |} {| y_a (x_o-x_c) |} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {| x_o-x_b |} {| x_o-x_c |} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {l (PB)} {l (PC)} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]
Esto significa que P divide el lado BC en la relación de los lados adyacentes AB y AC del triángulo. Pero, este es exactamente el ‘ teorema de la bisectriz angular ‘. Ahora el problema se reduce a dibujar una bisectriz angular en el ángulo A y dejar que corte el lado opuesto BC en el punto P. Este punto P es el centro de su semicírculo.
A continuación, necesitamos saber el radio del círculo, que como se discutió anteriormente es PM o PN perpendicular. Dibuje una perpendicular al lado AB (o AC) desde el centro P. Deje que intersecte AB en el punto M (o AC en el punto N). La longitud PM es el radio del círculo. Puede configurar la brújula a esta longitud y completar el semicírculo.
Resumen –
- Centro del semicírculo : dibuje y forme un ángulo con la bisectriz para formar el ángulo BAC, y deje que corte el lado opuesto BC en el punto P. Este es el centro del círculo.
- Radio del semicírculo : desde el punto P, deje caer una PM perpendicular al lado AB. La longitud PM es el radio del semicírculo.