Dado un triángulo ABC, ¿cómo construyo un semicírculo tocando AB y AC con su centro en BC?

Definamos este triángulo en un gráfico. Deje que [matemática] B (x_b, y_b) [/ matemática], [matemática] A (x_a, y_a) [/ matemática] y [matemática] C (x_c, y_c) [/ matemática] sean las coordenadas del triángulo.

Nota para que el semicírculo toque ambos lados, ninguno de los ángulos puede ser obtuso.

La ecuación de líneas –

Segmento AB –

[matemáticas] (y_a-y_b) x- (x_a-x_b) y + (x_ay_b-y_ax_b) = 0 [/ matemáticas]

Segmento AC –

[matemáticas] (y_a-y_c) x- (x_a-x_c) y + (x_ay_c-y_ax_c) = 0 [/ matemáticas]

Segmento BC –

[matemáticas] (y_b-y_c) x- (x_b-x_c) y + (x_by_c-y_bx_c) = 0 [/ matemáticas]

Sea [matemática] P (x_o, y_o) [/ matemática] el punto en BC que es el centro del semicírculo. Los perpendiculares dibujados desde P a los lados AB y AC se encuentran con ellos en los puntos M y N, respectivamente. Si el semicírculo toca los lados AB y AC, entonces estos perpendiculares PM y PN deben ser los radios del semicírculo, por lo tanto, iguales. Por lo tanto –

[matemáticas] PM = PN [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {| (y_a-y_b) x_o- (x_a-x_b) y_o + (x_ay_b-y_ax_b) |} {\ sqrt {(x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2}} = \ dfrac {| (y_a-y_c) x_o- (x_a-x_c) y_o + (x_ay_c-y_ax_c) |} {\ sqrt {(y_a-y_c) ^ 2 + (x_a-x_c) ^ 2}} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {| (y_a-y_b) x_o- (x_a-x_b) y_o + (x_ay_b-y_ax_b) |} {l (AB)} = \ dfrac {| (y_a-y_c) x_o- (x_a-x_c) y_o + (x_ay_c-y_ax_c) |} {l (AC)} [/ math]

Por conveniencia, deje que los puntos B y C estén en el eje X, de modo que los puntos de coordenadas [matemática] y_b = y_c = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a –

[matemática] \ dfrac {| y_ax_o-y_ax_b |} {l (AB)} = \ dfrac {| y_ax_o-y_ax_c |} {l (AC)} [/ matemática]

[matemáticas] \ dfrac {| y_a (x_o-x_b) |} {| y_a (x_o-x_c) |} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {| x_o-x_b |} {| x_o-x_c |} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {l (PB)} {l (PC)} = \ dfrac {l (AB)} {l (AC)} [/ matemáticas]

Esto significa que P divide el lado BC en la relación de los lados adyacentes AB y AC del triángulo. Pero, este es exactamente el ‘ teorema de la bisectriz angular ‘. Ahora el problema se reduce a dibujar una bisectriz angular en el ángulo A y dejar que corte el lado opuesto BC en el punto P. Este punto P es el centro de su semicírculo.

A continuación, necesitamos saber el radio del círculo, que como se discutió anteriormente es PM o PN perpendicular. Dibuje una perpendicular al lado AB (o AC) desde el centro P. Deje que intersecte AB en el punto M (o AC en el punto N). La longitud PM es el radio del círculo. Puede configurar la brújula a esta longitud y completar el semicírculo.

Resumen –

  • Centro del semicírculo : dibuje y forme un ángulo con la bisectriz para formar el ángulo BAC, y deje que corte el lado opuesto BC en el punto P. Este es el centro del círculo.
  • Radio del semicírculo : desde el punto P, deje caer una PM perpendicular al lado AB. La longitud PM es el radio del semicírculo.

Deje que el centro del círculo sea X. Cuando el círculo toca AB y AC, su distancia desde ambos lados es igual e igual al radio. Cualquier punto equidistante de los lados debe estar en la bisectriz de ángulo correspondiente. Por lo tanto, X se encuentra en la bisectriz del ángulo A. Pero X también se encuentra en BC. Por lo tanto, X es la intersección de la bisectriz angular de A con el lado BC. Y el radio es la distancia de X desde AC o AB.

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