Si multiplica la pendiente de una línea horizontal con una línea vertical, es 0 veces indefinida. ¿Cómo se obtiene -1? ¿O una línea horizontal y una línea vertical no son perpendiculares?

Pregunta:

Si multiplica la pendiente de una línea horizontal con una línea vertical, es 0 veces indefinida. ¿Cómo se obtiene -1? ¿O una línea horizontal y una línea vertical no son perpendiculares?

Comentario:

La pendiente de una línea horizontal es 0. La pendiente de una línea horizontal no está definida. La definición de línea perpendicular es el producto de dos pendientes iguales a -1. ¿O estoy entendiendo mal todas las ideas?

Su pregunta y su comentario indican que está pensando en el problema como un matemático en desarrollo, y eso es algo bueno. Déjame guiarte a través del proceso de la forma en que un matemático más experimentado lo pensaría. (Recuerde, las matemáticas son TODO SOBRE definiciones, teoremas y pruebas).

Definición 1 : Un conjunto [matemático] S [/ matemático] se denomina “línea” si existen números reales [matemático] a [/ matemático], [matemático] b [/ matemático] (no ambos iguales a cero) y real número [matemática] c [/ matemática], de modo que [matemática] S = \ {(x, y) \ in \ mathbb R ^ 2 | ax + by = c \} [/ math]. La línea está definida por las tres constantes [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]. (Esta definición es solo una forma un poco más cuidadosa de decir que una línea está dada por [math] ax + by = c [/ math]).

Definición 2 : Se dice que la línea definida por [matemática] a, b, c [/ matemática] tiene “pendiente” igual a [matemática] – \ frac ab [/ matemática] proporcionada [matemática] b \ ne 0 [/ matemática ]

Definición 3 : Llamamos a una línea definida por [matemática] a, b, c [/ matemática] “horizontal” si [matemática] a = 0 [/ matemática].

Definición 4 : Llamamos a una línea definida por [matemática] a, b, c [/ matemática] “vertical” si [matemática] b = 0 [/ matemática].

Definición 5 : Llamamos dos líneas “perpendiculares” si el producto de sus pendientes es negativo.

Reclamación (¿Teorema?) : Una línea horizontal (es decir, una línea para la cual [matemática] a = 0 [/ matemática]) y una línea vertical (es decir, una línea para la cual [matemática] b = 0 [/ matemática]) son perpendiculares.

Ahora, tratamos de probar el reclamo …

Prueba (?) : La pendiente de una línea horizontal es [matemática] – \ frac 0b = 0 [/ matemática]. Para que una línea sea perpendicular a una línea horizontal, su pendiente, [matemática] m [/ matemática] debe satisfacer [matemática] 0 \ cdot m = -1 [/ matemática]. Como no existe tal [matemática] m [/ matemática] en los números reales, concluimos que la afirmación es falsa.

Nuestro intento de una prueba falló. En realidad, demostramos que lo contrario de nuestra afirmación es cierto , es decir, una línea horizontal y una línea vertical NO son perpendiculares. Pero eso no parece correcto. La forma en que generalmente pensamos sobre las líneas perpendiculares nos dice que queremos que sean perpendiculares.

Entonces, podemos rendirnos, o podemos reconocer que hay algo especial sobre las líneas horizontales, a saber, que su pendiente es cero, que hace que nuestra definición no se aplique. Podemos modificar la definición de líneas “perpendiculares” para incluir este caso especial.

Nueva definición 5 : llamamos a dos líneas “perpendiculares” si el producto de sus pendientes es -1 o si una línea es horizontal y la otra es vertical.

Ahora vemos que esta Nueva Definición se aplica a todas las líneas en el plano cartesiano (es decir, líneas en dos dimensiones escritas solo en las variables [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]). Entonces podríamos dejarlo aquí y sentirnos satisfechos. Pero ahora estamos pensando como matemáticos. En lugar de dejar de fumar, decidimos que no nos gusta esta nueva definición porque no parece que el caso especial sea realmente tan especial. Quizás haya una forma mejor y más general de pensar sobre líneas que nos permita escribir una mejor definición de perpendicular (es decir, una que no requiera un “caso especial”). A los matemáticos les encanta abstraer más generalidad y odian los casos especiales.

Después de mucha consideración, pasamos a un marco más general que describe líneas en más de dos dimensiones. Para hacerlo, necesitamos definir algunos términos nuevos que nos ayuden a pensar en dimensiones superiores. (Estas ideas también se aplican a 2 dimensiones).

Nueva definición 1 : Un “vector” en [math] \ mathbb R ^ n [/ math] (con [math] n \ in \ mathbb N, n \ ge 2 [/ math]) es un conjunto ordenado de números reales [ matemáticas] (a_1, a_2, \ ldots, a_n) [/ matemáticas].

Nueva definición 2 : Un vector [matemático] (a_1, a_2, \ ldots, a_n) = (0,0, \ ldots, 0) [/ math] se denomina “vector cero”.

Notación : Usamos la notación [math] \ vec v [/ math] para denotar el vector [math] (v_1, v_2, \ ldots, v_n) [/ math].

Nueva definición 3 : Un conjunto [matemático] S [/ matemático] se denomina “línea” en [matemático] \ mathbb R ^ n [/ matemático] si existe un vector, [matemático] \ vec v [/ matemático] ( no es un vector cero) y un vector [math] \ vec c [/ math] tal que [math] S = \ {(x_1, x_2, \ ldots, x_n) \ in \ mathbb R ^ n | \ text {para algunos } t \ in \ mathbb R, (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = \ vec vt + \ vec c \} [/ math]. La línea está definida por los vectores, [math] \ vec v [/ math] y [math] \ vec c [/ math]. (Nuevamente, esta es solo una manera más cuidadosa de decir que una descripción paramétrica de una línea viene dada por [math] \ vec vt + \ vec c = \ vec x [/ math].)

Observe las similitudes entre esta idea de una línea y la que usamos en 2D. Las constantes reales [math] a, b [/ math] en nuestra definición original ahora definen el vector [math] \ vec v = (- b, a) [/ math] y [math] \ vec c [/ math] can ser cualquier punto de la línea.

A continuación, nos damos cuenta de que la idea de la pendiente no significa realmente mucho una vez que se llega a una dimensión superior a dos, por lo que ya no queremos definir perpendicular utilizando la pendiente. En cambio, para tener la idea de “perpendicular”, necesitamos una nueva idea llamada producto de puntos.

Nueva definición 4 : El “producto punto” de los vectores [matemática] \ vec a = (a_1, a_2, \ ldots, a_n) [/ matemática] y [matemática] \ vec b = (b_1, b_2, \ ldots, b_n) [/ math] viene dado por [math] \ displaystyle \ vec a \ cdot \ vec b = \ sum_ {k = 1} ^ n a_kb_k [/ math].

Y finalmente estamos listos para definir perpendicular en un sentido mucho más general.

Nueva definición 5 : La línea definida por [math] \ vec v_1 [/ math], [math] \ vec c_1 [/ math] es “perpendicular” a la línea definida por [math] \ vec v_2 [/ math], [ matemática] \ vec c_2 [/ matemática] si las líneas se cruzan y [matemática] \ vec v_1 \ cdot \ vec v_2 = 0 [/ matemática].

Ahora, podemos verificar si las líneas horizontales y verticales son o no perpendiculares según nuestra nueva definición.

Reclamación : una línea horizontal (en 2D) es perpendicular a una línea vertical (en 2D).

Prueba : la línea horizontal [matemática] y = c [/ matemática] está definida por [matemática] \ vec v_1 = (1,0) [/ matemática] y [matemática] \ vec c_1 = (0, c) [/ matemática ] porque cada punto de la línea tiene la forma [math] (t, 0) + (0, c) [/ math] para algunos [math] t \ in \ mathbb R [/ math].

La línea vertical [matemática] x = d [/ matemática] está definida por [matemática] \ vec v_1 = (0, 1) [/ matemática] y [matemática] \ vec c_1 = (d, 0) [/ matemática] porque cada punto en la línea tiene la forma [math] (0, t) + (d, 0) [/ math] para algunos [math] t \ in \ mathbb R [/ math].

Claramente, las líneas se cruzan en el punto [matemáticas] (d, c) [/ matemáticas].

El producto de punto, [math] \ vec v_1 \ cdot \ vec v_2 = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = 0 [/ math]. Por lo tanto, las líneas son perpendiculares. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

La prueba está completa, entonces, las líneas horizontales y las líneas verticales son, de hecho, perpendiculares. Además, tenga en cuenta que esta nueva definición continúa funcionando para otras líneas en dos dimensiones. Por ejemplo, si consideramos dos líneas que no son verticales u horizontales dadas por [math] a_ix + b_iy = c_i [/ ​​math], para [math] i = 1,2 [/ math], vemos que sus pendientes son [ matemáticas] – \ frac {a_i} {b_i} [/ matemáticas]. También vemos que, usando nuestra nueva definición de una línea, [math] \ vec v_i = (- b_i, a_i) [/ math] para las dos líneas. Entonces, si las líneas son perpendiculares, sabemos que [math] b_1b_2 + a_1a_2 = 0 [/ math]. Algún álgebra luego da [matemáticas] – \ frac {b_1} {a_1} \ cdot – \ frac {b_2} {a_2} = – 1 [/ matemáticas]. Y vemos que el producto de las pendientes es, de hecho, negativo siempre que las líneas 2D tengan pendientes bien definidas.

Ese es el enfoque de un matemático. Comienzas con una idea de lo que significa ser perpendicular. Crees que es una propiedad del producto de las pistas. Pero luego piensas en una excepción. Y en lugar de simplemente crear un caso especial, tratamos de pensar de manera más general con la esperanza de aprender algo más profundo sobre las líneas y la perpendicularidad. Con un pensamiento cuidadoso, desarrollamos un marco que permite una noción más general de líneas y perpendicularidad que nuestra idea original de que las pendientes involucradas podrían manejar. Y aprendimos todo esto porque nos vimos obligados a pensar cuidadosamente acerca de su “excepción” a lo que pensamos que era una buena definición.

Una forma más general de determinar si dos líneas son perpendiculares es escribirlas en forma de Ax + By = C. Esto es útil ya que las líneas verticales no se pueden escribir en la forma y = mx + b. El criterio de perpendicularidad cambia de m1 * m2 = -1 a A1 * A2 + B1 * B2 = 0.

La “pendiente” de una línea vertical no está definida, por lo que no puede utilizar este criterio para decidir si una línea vertical y una horizontal son perpendiculares. Sin embargo, hay otros criterios para decidir esto.

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