¿Cuál es la forma más simple de dibujar un octágono verdadero y luego calcular el área?

Answer 1

¿Cuál es la forma más simple de dibujar un octágono verdadero y luego calcular el área?

Para dibujarlo con una brújula y un borde recto, comience con una línea,

luego haz un par de líneas perpendiculares,

luego dibuje un círculo con radio [matemática] r [/ matemática] centrado en su intersección. Este es el círculo que circunscribirá el octágono que dibujaremos.

Luego biseca cada uno de los dos ángulos verticales.

Ahora tiene cuatro líneas, todas intersectando en el punto [math] \ text {E}, [/ math] formando ángulos de 45 y 90 grados entre sí.

Conecte en secuencia los ocho puntos donde estas cuatro líneas se cruzan con el círculo de radio [matemática] r [/ matemática] que se centra en E.

El área de un octágono regular es la suma de las áreas del cuadrado [matemáticas] \ text {KLMO} [/ matemáticas] y los cuatro triángulos [matemáticas] \ triángulo \ texto {FKL}, [/ matemáticas] [matemáticas] \ triángulo \ text {GLM}, [/ math] [math] \ triangle \ text {NMO}, [/ math] y [math] \ triangle \ text {HOK}. [/ math]

La longitud de la diagonal más larga es el diámetro del octágono regular es [matemáticas] 2r. [/ math] Esta diagonal es también la diagonal del cuadrado [math] \ text {KLMO}. [/ math] La diagonal más corta del octágono es el lado de ese cuadrado, por lo que su longitud es [math] \ sqrt2 ~ r. [/ math] Entonces, el área del octágono es igual al producto de sus diagonales más cortas y más largas, que también es el área del rectángulo rojo, [math] 2 \ sqrt2 ~ r ^ 2. [/ math]

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Los diagramas, arriba, fueron creados usando GeoGebra. [1]

Notas al pie

[1] Calculadora gráfica – GeoGebra

Answer 2

Has recibido algunas buenas respuestas sobre el dibujo. Con respecto al área, deberíamos ser capaces de llegar a una fórmula general usando solo el número de lados ( n ) y la longitud de un lado ( s ) suponiendo que estamos hablando de un polígono regular.

La medida de un ángulo interior es 180 ( n – 2) / n . Ahora, dibuja un triángulo dibujando segmentos desde el centro del polígono a un vértice y desde el centro perpendicular a un lado correspondiente. El ángulo \ theta en el triángulo es la mitad de la medida de un ángulo interior que lo hace

[matemáticas] \ theta = \ frac {1] {2} \ frac {180 (n – 2)} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ frac {90 (n – 2)} {n} [/ matemáticas]

La base del triángulo es medio lado o s / 2.

La altura del triángulo es:

[matemáticas] \ tan (\ theta) = \ frac {h} {\ frac {s} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ frac {s \ tan (\ theta)} {2} [/ matemáticas]

Sustituir nuestra fórmula por theta en términos del número de lados nos da

[matemáticas] h = \ frac {s \ tan (\ frac {90 (n – 2)} {n})} {2} [/ matemáticas]

Esto hace que el área del triángulo

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} bh [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} \ frac {s} {2} \ frac {s \ tan (\ frac {90 (n – 2)} {n})} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ frac {s ^ 2 \ tan (\ frac {90 (n – 2)} {n})} {8} [/ matemáticas]

Hay 2 de estos triángulos por lado para un total de 2 n . Eso hace que el área total

[matemáticas] A = 2n \ frac {s ^ 2 \ tan (\ frac {90 (n – 2)} {n})} {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ frac {ns ^ 2} {4} \ tan (\ frac {90 (n – 2)} {n}) [/ matemáticas]

Answer 3

Primero, obtenga una brújula, un borde recto, papel y lápiz.

En su papel, elija 2 puntos distintos al azar y dibuje una línea entre ellos. Luego, dibuja un círculo alrededor de uno de los puntos usando tu brújula (preferiblemente alrededor de la mitad de la distancia entre los 2 puntos). Luego dibuja otro círculo alrededor del otro punto con el mismo radio.

¿Ves dónde se cruzan? Dibuja una línea a través de él. El punto en el que cruza la otra línea es el punto medio. Así que ahora, establece el radio de tu brújula a la distancia entre el punto medio y cualquiera de los puntos, y dibuja un círculo:

Ese círculo más pequeño es donde dibujamos el octágono. Ahora los 4 puntos formados por la línea y su bisectriz perpendicular forman un cuadrado. Pero no queremos un cuadrado, queremos un octágono. ¿Recuerdas cuando encontramos el punto medio de una línea? Podemos usar eso de nuevo. Entre donde esas 4 líneas se cruzan con el círculo, bisecarlas. Tenga en cuenta que solo necesita bisecar 2 veces, ya que es un octágono regular y simplemente puede continuar la línea.

Es muy discreto en este momento, pero puedes distinguir las 2 líneas que hice. Ahora conecta todos los puntos que se encuentran en una línea recta.

Ahora borro todas las líneas.

Ahora para encontrar el área:

TYPO: QUE DEBE SER 2s ^ 2 / tan (22.5)