Se corta un cuadrado [0,1] ^ 2 con n líneas aleatorias que van de un lado a otro. ¿Cuál es el número esperado de intersecciones dentro del cuadrado (es decir, líneas que se cruzan con otras líneas)?

Answer 1

Tu pregunta no está del todo clara.

Supongo que elige un punto al azar en el perímetro del cuadrado con probabilidad uniforme; luego escoges un segundo punto en cualquiera de los otros tres lados, nuevamente con probabilidad uniforme. Luego trazas una línea entre esos dos puntos.

En ese caso, podemos pensar que cada línea divide el perímetro en dos regiones cuyas longitudes se suman a 4. Si dejamos que x represente la longitud de la región que incluye el origen de la primera línea, la probabilidad de que dos puntos seleccionados con la distribución uniforme en el perímetro cuadrado está en regiones opuestas es [math] \ frac {x (4-x)} {8} [/ math].

x es la suma de dos distribuciones uniformes, una de 0 a 1 y otra de 0 a 3. Por lo tanto, la probabilidad de que los dos nuevos puntos estén en diferentes regiones es [matemática] \ int_0 ^ 1 {\ int_0 ^ 3 {\ frac {(x + y) (4-xy)} {24} dy} dx} = \ frac {19} {48} [/ math].

Pero tenemos que corregir el hecho de que los dos segundos puntos deben estar en lados diferentes del cuadrado. Una vez en cuatro estarán del mismo lado, y en este caso hay una posibilidad en cuatro de que estén en diferentes regiones. Entonces, si [matemática] p [/ matemática] es la probabilidad que queremos (que dos líneas se crucen dentro del cuadrado) entonces sabemos [matemática] \ frac {19} {48} = \ frac {3p} {4} + \ frac {0.25} {4} [/ math] entonces [math] p = \ frac {4} {9} [/ math].

Multiplique esto por [matemáticas] \ frac {n (n-1)} {2} [/ matemáticas] para obtener el número esperado de intersecciones.

Editar: se me ocurrió una forma diferente de obtener la respuesta que se basa más en la geometría que en el cálculo. Considere tres casos:

1. Al menos una de las dos líneas conecta lados opuestos del cuadrado. Probabilidad = [matemáticas] \ frac {5} {9} [/ matemáticas], probabilidad de que las dos líneas se crucen, 0.5.
2. Ambas líneas conectan lados adyacentes del cuadrado, con al menos un lado en común. Probabilidad, [matemática] \ frac {3} {9} [/ matemática], probabilidad de que las dos líneas se crucen, 0.5.
3. Ambas líneas conectan lados adyacentes del cuadrado, sin ningún lado en común. Probabilidad [matemática] \ frac {1} {9} [/ matemática], probabilidad de que las dos líneas se crucen, 0.

Entonces, la probabilidad incondicional de que las dos líneas se crucen es [matemática] \ frac {5 + 3} {9} 0.5 = \ frac {4} {9} [/ matemática].