Dado un triángulo equilátero y su circunferencia circular, ¿hay un punto en la circunferencia tal que las distancias desde los vértices sean números enteros?

Answer 1

Ptolomeo dice que [matemática] px = rx + sx [/ matemática] y así [matemática] p = r + s. [/ Matemática] Decimos esto porque si [matemática] r [/ matemática] y [matemática] s [/ matemáticas] resultan ser racionales, entonces también lo es [matemáticas] p [/ matemáticas].

Ahora los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180º. Así que la ley del coseno dice

[matemáticas] {p ^ 2} = {s ^ 2} + {x ^ 2} – 2sx \ cos A = {x ^ 2} + {r ^ 2} – 2xr \ cos (180 – A) = {x ^ 2} + {r ^ 2} + 2xr \ cos A [/ matemáticas].

Ahora [math] {x ^ 2} = {r ^ 2} + {s ^ 2} – 2rs \ cos 120 = {r ^ 2} + {s ^ 2} + rs. [/ Math].

Entonces, lo que debe hacer es elegir valores enteros de rys, luego determinar y luego determinar el valor de x. Desde arriba, p también es un número entero.

Entonces, la respuesta a su pregunta es que para un número infinito de triángulos equiláteros existe tal punto.

Answer 2

Sin mencionar que las distancias son números enteros, no hay ningún punto en el círculo de ningún triángulo equilátero cuya distancia desde cualquier vértice sea un número racional.

Considere un triángulo equilátero [matemático] \ triángulo ABC [/ matemático] con lados que miden las unidades [matemática] s [/ matemática]. Deje que el triángulo se coloque en el plano [matemático] XY [/ matemático] de modo que su centro esté en el origen, [matemático] O, [/ matemático] y el vértice [matemático] A [/ matemático] esté en el positivo [matemático ] Eje Y [/ matemático].

La longitud de la altitud de un triángulo equilátero de lado que mide [math] s [/ math] unidades es [math] \ frac {\ sqrt 3} {2} s. [/ Math]

Como las altitudes y las medianas de los triángulos equiláteros son las mismas, el centroide de [math] \ triangle ABC [/ math] se encuentra en el origen [math] O [/ math].

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La longitud de [math] OA [/ math] es dos tercios de la longitud de la mediana / altitud.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Las coordenadas del punto [math] A [/ math] son ​​[math] \ left (0, \ frac {1} {\ sqrt 3} s \ right). [/ math ]

Deje que [math] P (x, y) [/ math] sea cualquier punto arbitrario en el círculo.

Entonces [matemáticas] AP ^ 2 = \ left (x-0 \ right) ^ 2 + \ left (y- \ frac {1} {\ sqrt 3} s \ right) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 – \ frac {2} {\ sqrt 3} s + \ frac {1} {3} s ^ 2. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad AP ^ 2 [/ math] es un número irracional para cualquier elección del punto [math] P [/ math] en el círculo y cualquier longitud del lado s.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La distancia de todos los puntos en el círculo desde el vértice [math] A [/ math] de [math] \ triangle ABC [/ math] es un número irracional.

Por simetría de triángulos equiláteros, podemos concluir que lo mismo es válido para los otros dos vértices también.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] No hay ningún punto en el círculo dentro de ningún triángulo equilátero cuya distancia desde cualquier vértice sea un número racional.

Answer 3

Depende de la longitud lateral s del triángulo . En general, no hay un punto en un círculo circunscrito dado de modo que las distancias desde él a los vértices del triángulo equilátero sean todos números enteros. Sin embargo, si la longitud lateral s del triángulo equilátero tiene la forma sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + a * b) para los números enteros a y b, entonces habrá un punto y las distancias a los tres los vértices serán a, b, y a + b.

Considere un punto arbitrario P que se encuentra en el círculo circunscrito de diámetro d = (2 / sqrt (3)) * s. Designe el vértice más cercano v1 y suponga que la distancia de P a v1 es d1. De manera similar, dejemos que v2 sea el vértice más próximo y supongamos que d2 es la distancia de P a v2. Finalmente, v3 es el vértice más alejado de P, y d3 es la distancia de P a v3. La siguiente figura muestra este escenario. Se puede demostrar que d1 + d2 = d3, aunque no derivaré esto aquí. Simplemente haremos uso de este hecho para guiar nuestra solución del problema. Estamos interesados ​​en el conjunto de valores de s, de modo que P se pueda elegir de modo que d1, d2 y d3 sean números enteros.

El caso más fácil de analizar es d1 = 0 (P se encuentra encima de v1). Entonces d2 = d3 = s. Todas las distancias serán números enteros si s es un número entero.

d1 = d2 es bastante fácil de analizar. En este caso 2 * d1 = 2 * d2 = d3 = d = (2 / sqrt (3)) * s. Todas las distancias serán completas si s es un múltiplo entero de sqrt (3).

Para relaciones más complicadas de d2 a d1, necesitamos una relación general entre sy nuestras distancias elegidas d1 y d2. Observe que el triángulo P-v1-v2 está inscrito en nuestro círculo. Este triángulo tiene lados de longitud d1, d2 y s. El diámetro del circunferencia circunscrita viene dado por la fórmula:

d = 2 * d1 * d2 * s / sqrt ((d1 + d2 + s) * (d1 + d2-s) * (d1 + s-d2) * (d2 + s-d1))

También sabemos que d = (2 / sqrt (3)) * s. Al igualar estas expresiones para d y simplificar, obtenemos la siguiente ecuación cuártica en s:

s ^ 4–2 * (d1 ^ 2 + d2 ^ 2) * s ^ 2 + (d1 ^ 4 + d1 ^ 2 * d2 ^ 2 + d2 ^ 4) = 0

Si observa detenidamente, esta ecuación cuártica también es una ecuación cuadrática en s ^ 2. Podemos resolver el par de soluciones de s ^ 2 usando la fórmula cuadrática de la siguiente manera:

s ^ 2 = (d1 ^ 2 + d2 ^ 2) + d1 * d2

s ^ 2 = (d1 ^ 2 + d2 ^ 2) -d1 * d2

Sabemos que s es una longitud lateral, por lo que tomamos las raíces cuadradas positivas de estos para obtener las longitudes laterales de nuestros triángulos que nos permitirán elegir números enteros para d1 y d2.

s = sqrt (d1 ^ 2 + d2 ^ 2 + d1 * d2)

s = sqrt (d1 ^ 2 + d2 ^ 2-d1 * d2)

Las soluciones para s vienen en pares porque cada lado del triángulo equilátero divide la circunferencia del círculo circunscrito en un arco corto y un arco largo. Un valor de s corresponde a colocar P en el arco corto, mientras que el otro valor corresponde a colocar P en el arco largo.

Con d1 = 0, d2 = 1 y d3 = 1, obtenemos s = 1 con multiplicidad 2, que concuerda con nuestro resultado anterior. Con d1 = 1, d2 = 1 y d3 = 2, obtenemos s = 1.73205 o s = 1. 1.73205 es sqrt (3) en forma decimal, que obtuvimos anteriormente. También obtenemos s = 1 porque podríamos haber dibujado d1 y d2 en el otro lado del círculo. Con d1 = 1, d2 = 2 y d3 = 3 obtenemos s = sqrt (7) = 2.64575 o s = sqrt (3) = 1.732.

Al iterar a través de las combinaciones de números primos co-primos de d1 y d2, podemos generar la familia fundamental de valores de longitud lateral s que nos permiten colocar un punto P de modo que las distancias desde P hasta cada vértice del triángulo equilátero sean enteras números. Los primeros 20 valores fundamentales de s son los siguientes: 1, sqrt (3) = 1.73205, sqrt (7) = 2.64575, sqrt (13) = 3.60555, sqrt (19) = 4.35890, sqrt (21) = 4.58258, sqrt ( 31) = 5.56776, sqrt (37) = 6.08276, sqrt (39) = 6.24500, sqrt (43) = 6.55744, sqrt (57) = 7.54983, sqrt (61) = 7.81025, sqrt (67) = 8.18535, sqrt (73 ) = 8.54400, sqrt (79) = 8.88819, sqrt (91) = 9.53939, sqrt (93) = 9.64365, sqrt (97) = 9.84886, sqrt (103) = 10.14889, sqrt (109) = 10.4403. Cualquier múltiplo entero distinto de cero de estos valores de s también funcionará debido a la similitud geométrica . Podemos ver que todo el conjunto de valores s es infinitamente grande .

Answer 4

Claramente no. Considere un triángulo equilátero con el lado 0.1. No hay dos puntos en la circunferencia donde la distancia es un número entero (aparte de elegir el mismo punto dos veces, 0 distancia).

Answer 5

Tome un pequeño círculo dentro del cuadrado con el lado menos de la mitad. Inscriba un triángulo equilátero en él (o cualquier triángulo). Todas las distancias son entonces menos de uno.

Answer 6

Solo si la longitud del lado es un número entero y cuenta cero como número entero, en cuyo caso hay 3