¿Cómo se probó el axioma de las líneas paralelas al extender la geometría euclediana a la geometría de Riemann?

Answer 1

A mediados del último milenio, muchos matemáticos europeos trabajaron para tratar de probar el quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de Playfair:

Dada una línea y un punto que no está en dicha línea, hay exactamente una línea (en el plano que contiene el punto y la línea originales) paralela a la línea y que pasa por el punto. Ninguno tuvo éxito.

Más tarde entendimos por qué sucedió … Siglos después, especialmente a mediados del siglo XIX, se construyeron modelos que muestran que este postulado es independiente de los demás de la geometría euclidiana. Lobachevsky consideró la idea de una geometría no paralela sino infinita, y proporcionó un modelo de la misma. Riemann, por otro lado, consideró la idea de una geometría sin líneas paralelas y proporcionó un modelo.

Curiosamente, y como no soy físico, así que no soy un experto en los detalles, la creación de geometrías no euclidianas permitió a Einstein postular la relatividad.

Entonces, no, el axioma o el postulado no fue probado. Más bien, los matemáticos propusieron geometrías no euclidianas que rechazaron dicho axioma. Mientras tanto, la geometría euclidiana sigue siendo útil con el postulado paralelo aquí en la Tierra.

(Lo anterior proviene en gran medida de recuerdos lejanos como estudiante universitario, por lo que las correcciones a mi narrativa, si las hubiera, serían muy apreciadas).

Answer 2

Eso no es lo que pasó.

No se “prueban” los axiomas. Son cosas que simplemente asumes que son ciertas. El debate fue si el axioma paralelo era en realidad un axioma, algo que tenía que asumir que era cierto, o un teorema, que es algo que puede probar de los otros axiomas.

Lo que hizo Riemann fue demostrar esencialmente que el axioma paralelo era un axioma: había que asumir que era verdadero. Lo hizo haciendo geometría en una esfera. Cada axioma de la geometría euclidiana es verdadero en una esfera, excepto el postulado paralelo. Claramente, no puede probar el axioma paralelo de los otros axiomas, porque todos los demás axiomas pueden ser verdaderos mientras el axioma paralelo sea falso.