¿Cómo ha cambiado la geometría euclidiana desde la época de Euclides?

Answer 1

Hay varios lados en esto. Solo puedo dar un recorrido MUY rápido.

En primer lugar, de alguna manera casi ha desaparecido. Ese es un cambio obvio. Se demoró en las escuelas, mientras que la geometría “profesional” estaba siendo algebraificada, y murió lentamente.

Ahora se aborda principalmente mediante espacios vectoriales reales; dada una norma adecuada, se denominan espacios “euclidianos”. Esto implica muchos cambios que pueden verse como significativos.

(a) Euclides se refiere a las “magnitudes” de segmentos de línea y de figuras planas. El término corresponde a lo que describimos como “longitudes” y “áreas” respectivamente, pero el concepto no es el mismo sutilmente, aparte del uso interesante de la misma palabra para ambos casos. Por un lado, las “magnitudes” esencialmente nunca se consideran independientemente de las proporciones entre magnitudes; Por otro lado, la noción de que uno puede tener una magnitud que simplemente está flotando en el espacio de magnitud, en lugar de ser la magnitud real de un segmento de línea o de una figura plana, simplemente no existe. Las disecciones geométricas de Euclides no son un intento de medir áreas, en un sentido moderno; Cuando dice que las figuras planas tienen las mismas magnitudes, quiere decir que ambas pueden diseccionarse en partes congruentes y, por lo tanto, sus magnitudes son iguales, no que uno pueda determinar el “área” de uno y el “área” de la otra y mostrar que Las “áreas” son iguales.

Esto va de la mano con que las proporciones no se expresan como proporciones en Euclides; El vuelo al “número” abstracto, que es casi lo primero que sucede en la geometría moderna, se evita como la peste. Euclides hace un clima particularmente pesado con algunas reglas simples sobre la combinación de proporciones, aparentemente porque expresarlas en términos de proporciones y solo lidiar con los números no es algo que le haga feliz.

Esto puede hacer que leer Euclides sea bastante equivocado. Euclides se referirá felizmente a la magnitud de un triángulo como el cuadrado de uno de sus lados, y lo combinará con un triángulo similar cuya magnitud se exprese de manera similar. Naturalmente, querríamos “encontrar un área” y terminar con un área expresada en términos de alguna constante arbitraria asociada con la forma del triángulo, que se cancelará claramente si los triángulos son similares. Euclides simplemente no piensa en las magnitudes independientemente de las magnitudes en proporción. La idea de que usar el cuadrado en un lado, en lugar de un cuadrado en realidad igual al área del triángulo, es una complicación adicional o una estafa o una forma rápida de saltar varios pasos es bastante extraña. El argumento continúa sin pasar por “áreas”, y las magnitudes se tratan como magnitudes proporcionales, porque Euclides no conoce otro tipo. No está interesado en “unidades de longitud” o “unidades de área”.

(b) Estamos usando (lo que ahora llamamos) los números reales. Los “números reales” se introdujeron originalmente con al menos medio ojo en usarlos como modelos de magnitudes geométricas; esto ahora está al revés, y las magnitudes se definen en términos de números reales, que ahora se desarrollan de manera bastante diferente. ¿Cuánto cambio es esto? Es difícil de decir. Las propiedades de las magnitudes se exploraron solo parcialmente en Euclides, quien adoptó una teoría de las proporciones, adaptada para admitir algunas operaciones de límite, de Eudoxus de Cnidus, pero el propio Euclides en realidad no usó las operaciones de límite. Existe una expectativa general de que las proporciones se pueden combinar de varias maneras que corresponden, en términos algebraicos, al conjunto de magnitudes que se cierran en algunas operaciones. Euclides solo asume que uno puede hacer esto.

(c) Los segmentos de línea de Euclides no están dirigidos. El desarrollo como vectores significa que los segmentos de línea tienen que ser dirigidos. Esto ciertamente cubre la dirección de extremo a extremo: Euclides no distingue entre AB y BA, y a veces parece variar el orden de los extremos al azar, pero también fortalece la diferencia entre segmentos de línea de igual magnitud que están en direcciones bastante diferentes. Comparar las magnitudes de cosas que están relativamente giradas, en otras palabras, es una operación primitiva simple para Euclides, que no requiere ningún comentario especial o maquinaria. Trabajar en un espacio vectorial real hace que la escala de un número real parezca fundamentalmente más simple que una rotación.

(d) A pesar de lo anterior, tendemos a pensar que las figuras geométricas están sujetas a “movimientos rígidos”; transformaciones continuas como rotaciones que preservan distancias. Euclides (en su mayoría) evita tal noción; sus construcciones no implican transformaciones continuas, pero construyen explícitamente en B una copia de algo en A. Es muy difícil sacar el “proceso” de la mente al hacer geometría ahora. Las construcciones de Euclides son más como pasos lógicos en un argumento que transformaciones progresivas.

Euclides seguramente ya estaba familiarizado con el “método de agotamiento” utilizado por Eudoxus, pero no lo incorporó a los Elementos . Probablemente no cuenta como “Euclidiana”. Quizás encaja un poco mejor con la geometría como álgebra, pero, por supuesto, implica ideas específicamente analíticas. Uno no los necesita estrictamente para nada de lo que hace Euclides, pero de todos modos, no está del todo claro que Euclides esté completamente libre de ellos. Por ejemplo, uno solo puede admitir en el plano euclidiano ciertos puntos constructivos y, literalmente, no tener otros, por lo que el álgebra garantiza la existencia de puntos donde las líneas se encuentran con los círculos. Sin embargo, es difícil ver que Euclides está haciendo algo por el estilo. En cambio, parece estar confiando en algo que podría formalizarse como el teorema del valor medio, lo que me parece algo mucho más natural que dar por sentado que el cierre de una extensión de campo particular de los números racionales.

Finalmente, un punto bastante diferente a los demás. Sin duda Euclides estaba tratando de describir las propiedades de la realidad física. Casi todo el mundo dio por sentado que la geometría (euclidiana) es la geometría del mundo real; que realmente no podría haber otro. En retrospectiva, no es fácil ver por qué esto parecía tan seguro, aparte de la succión intelectual que resulta de tener solo una cuenta de las cosas. Ahora sabemos más o menos que la geometría euclidiana es un buen modelo local de geometría física, pero falla en grandes distancias, y las distancias pueden acortarse chapoteando alrededor de pozos de gravedad empinados. La geometría euclidiana ya no es “la forma en que deben ser las cosas”, no está claro si Euclides pensó esto, y de hecho “no es como son las cosas”. Terminó en la rama “pura” de la bifurcación que, relativamente recientemente, ha separado las matemáticas “puras” de las “aplicadas”.

Answer 2

Por un lado, se llama “geometría euclidiana” y no solo “geometría”.

Veamos … Los matemáticos griegos que eran contemporáneos de Euclides tenían diferentes conceptos de lo que eran las construcciones matemáticas básicas. El marco en el que Euclides pensó en su geometría es diferente del marco en el que pensamos hoy en su geometría.

Los números eran importantes para ellos, pero pensaban en ellos de manera diferente que nosotros. Por supuesto, no tenían números negativos. Todo estaba basado en enteros. Las longitudes, las áreas y los volúmenes se entendieron todos, y se podían sumar, restar, igualar, pero por separado, no se podían agregar una longitud y un área, o igualar un volumen y un número. Podrías tomar razones de cosas similares, para obtener una razón, que nuevamente era número-ish, pero no exactamente un número. La relación entre dos lados de un triángulo rectángulo particular podría ser, por ejemplo, [matemáticas] 3: 4 [/ matemáticas], y eso se consideraría igual a la relación entre los enteros [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas ] 4 [/ math] (o [math] 12 [/ math] y [math] 16 [/ math]), pero la proporción no era exactamente un número como nuestro moderno [math] 0.75 [/ math].

Hoy en día es muy típico hablar de geometría euclidiana sobre conceptos como coordenadas, ejes y demás, mientras que Euclides nunca tuvo tales conceptos. Tendemos a pensar que las cosas tienen un tamaño fijo o una métrica incorporada, mientras que Euclides no lo hizo; sus teoremas generalmente no tienen escala. No hay una “línea de longitud 1” o un círculo unitario. Esta geometría era más relativista que la forma en que tendemos a tratar la geometría hoy: todo era relativo a otras cosas, y esto se refleja en la importancia de la “similitud” y la “congruencia”. Dos cosas son similares si son idénticas, excepto por la escala y la posición. Dos cosas son congruentes si son similares con una escala de [matemática] 1: 1 [/ matemática] (así no es exactamente cómo lo describe Euclides, pero sospecho que estaría de acuerdo con él, incluso si no lo escribiera de esa manera )

Euclides habló sobre puntos, líneas, círculos y planos como la base de su geometría, y todo en los Elementos geométricos se deriva de esos conceptos. En términos modernos, todo lo que hizo se limitó a 2 y 3 dimensiones, mientras que hoy nos referimos a geometrías euclidianas de cualquier número de dimensiones (las geometrías euclidianas de 0 dimensiones son bastante aburridas, pero podemos hablar de ellas). .

Sin embargo, aunque todo lo que Euclides hablaba era puntos, líneas, círculos y planos, sus contemporáneos sabían y hablaban de otras cosas. Se escribieron libros enteros (y se perdieron, y a veces se volvieron a encontrar) en secciones cónicas (parábolas, hipérbolas y elipses), en esferas, en cilindros, etc. De los tres grandes problemas “imposibles” de la geometría griega (cuadrar el círculo, duplicar el cubo y los ángulos de trisección) dos tenían soluciones conocidas en la antigüedad que involucraban curvas o herramientas que Euclides no discutió ni mencionó: no hay una construcción dentro del marco de Los Elementos que te permita triseccionar un ángulo, pero los griegos sabían cómo hazlo. Tales construcciones se considerarían parte de la geometría euclidiana hoy, y eran conocidas por las matemáticas griegas, pero no se enseñaron como parte de la geometría de Euclides en los 2000 años transcurridos.

Ahora también tenemos geometría no euclidiana para contrastar con la geometría de Euclides, por lo que una gran diferencia es que para Euclides (y contemporáneos) su geometría era la geometría, y era un modelo idealizado del mundo real. Hoy, la geometría euclidiana es solo una de muchas. Otras geometrías rechazan uno de los 5 postulados geométricos que Euclides describió (“Que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se unen en ese lado en el que están los ángulos menores que los dos ángulos rectos “).

Otra diferencia potencial es la axiomatización de la geometría euclidiana. Este es un poco vergonzoso. Uno de los grandes resultados de Euclid’s Elements fue el pensamiento organizacional sobre las matemáticas: exponga sus suposiciones y pruebe nuevos resultados con un pensamiento claro basado en esas suposiciones. Euclides comienza su libro con 23 definiciones (las agrega a medida que avanza), 5 “postulados” (como “Que todos los ángulos rectos sean iguales”) y 5 “nociones comunes” (como “Si se agregan iguales” a iguales, entonces los enteros son iguales “). Todo lo que sigue en el libro se define o se prueba usando esas 33 definiciones, postulados o nociones comunes, o en proposiciones, definiciones o construcciones anteriores en el libro. Todo se remonta a esas 33 definiciones.

Excepto … En el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a profundizar en las matemáticas axiomatizantes, basándose en el ejemplo y el ideal de Euclides. Algunos matemáticos, al estudiar a Euclides, notaron que ocasionalmente se coló en ideas que no había definido, nociones que no había declarado explícitamente, como el intermedio , y algunas de sus pruebas tenían lagunas. Moritz Pasch incluso descubrió un postulado no declarado que utilizó Euclides. No era que estuvieran equivocados, sino que no estaban probados tan formalmente como uno desearía en un trabajo como el suyo. Algunos matemáticos trabajaron para rehacer sus axiomas y definiciones para completar todo. Los axiomas de David Hilbert y los axiomas de Alfred Tarski son dos variantes de cómo hacerlo (los axiomas de Hilbert dependen de una lógica de segundo orden, Tarski estaba intentando una lógica de primer orden; los axiomas de Hilbert cubren una geometría tridimensional, pero arrojando o modificando trivialmente algunos axiomas (por ejemplo, cambiando “Hay 4 puntos que no están en un plano” a “Hay 3 puntos que no están en una línea”) puede restringirse a la geometría bidimensional, mientras que Tarski es explícitamente una axiomatización bidimensional) .