No.
El triángulo equilátero más grande que podemos inscribir en un cuadrado, es cuando uno de los vértices del triángulo está en un vértice del cuadrado y los otros dos vértices están en lados opuestos como en la siguiente figura:
Entonces, los ángulos entre el lado del cuadrado y el lado del triángulo son 15 °. Entonces, la razón del lado del triángulo equilátero [matemático] b [/ matemático] al lado del cuadrado [matemático] a [/ matemático] es [matemático] b: a = 1: \ cos15 ^ \ circ [/ matemático ]
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Por otro lado, la relación entre la altura del triángulo [matemática] h [/ matemática] y su lado [matemática] b [/ matemática] es [matemática] h: b = \ sin60 ^ \ circ: 1 [/ matemática ]
Entonces [matemáticas] h: a = \ sin60 ^ \ circ: \ cos15 ^ \ circ [/ math].
Si fuera posible, entonces la relación de max [matemática] h [/ matemática] a [matemática] a [/ matemática] debería ser mayor (o igual) que 1. Esto sucedería si [matemática] \ sin60 ^ \ circ \ ge \ cos15 ^ \ circ [/ math]. Sin embargo, [math] \ cos15 ^ \ circ = \ sin75 ^ \ circ [/ math] y [math] \ sin75 ^ \ circ> \ sin60 ^ \ circ [/ math].
Entonces, no, no es posible inscribir un triángulo equilátero con su altura igual al lado del cuadrado.
(Si, para base, se refiere a la base del triángulo equlateral, entonces la relación [math] h: b [/ math] es fija [math] \ sqrt3: 2 [/ math] para que nunca suceda inscrita o no dentro de un cuadrado.)