¿Por qué la longitud focal de un espejo esférico es la mitad de su radio de curvatura?

Answer 1

Considere un espejo cóncavo como se muestra en la figura de arriba.
Un rayo de luz AB que viaja paralelo al eje principal PC incide en un espejo cóncavo en B. Después de la reflexión, atraviesa el foco F. P es el polo del espejo. C es el centro de curvatura.

La distancia PF = distancia focal f.
La distancia PC = radio de curvatura R del espejo.
BC es lo normal al espejo en el punto de incidencia B.

∠ABC = ∠CBF (Ley de reflexión, ∠i = ∠r)
∠ABC = ∠BCF (ángulos alternos)
⇒∠BCF = ∠CBF
∴ΔFBC es un triángulo isósceles.
Por lo tanto, lados BF = FC

Para una pequeña apertura del espejo, el punto B está muy cerca del punto P,
⇒BF = PF
∴PF = FC = 1 / 2PC
⇒f = 1 / 2R

Ahora considere un espejo convexo como se muestra en la figura a continuación.

Un rayo de luz AB que viaja paralelo al eje principal PC incide en un espejo convexo en B. Después de la reflexión, se dirige hacia Dand y parece venir del foco F.

La distancia PF = distancia focal f.
La distancia PC = radio de curvatura R del espejo.
La línea recta NBC es la normal al espejo en el punto de incidencia B.

∠ABN = ∠NBD (Ley de reflexión, ∠i = ∠r)

∠CBF = ∠DBN (ángulos verticalmente opuestos)

∠NBA = ∠BCF (ángulos correspondientes)

⇒∠BCF = ∠CBF

∴ΔFBC es un triángulo isósceles.
Por lo tanto, lados BF = FC

Para una pequeña apertura del espejo, el punto Bis muy cerca del punto P,

⇒BF = PF

∴PF = FC = 1 / 2PC

⇒f = 1 / 2R

Por lo tanto, para un espejo esférico (tanto para cóncavo como para convexo), la distancia focal es la mitad del radio de curvatura.

Answer 2

Si una fuente puntual de luz estuviera en el centro de la curva (a la distancia del radio de curvatura), entonces se reflejaría perpendicularmente desde cada punto de la curva y se volvería a enfocar en ese mismo punto.

A medida que la fuente se aleja del espejo, el foco se mueve hacia el espejo (y se vuelve menos enfocado). En el infinito, el foco está a la mitad del radio de curvatura. La distancia focal se define mediante rayos paralelos, es decir, rayos desde una fuente puntual infinitamente distante.

Si el espejo fuera parabólico en lugar de esférico, el enfoque sería más preciso. Un espejo esférico es solo una aproximación de un espejo parabólico. La prueba de que la longitud focal es la mitad del radio de curvatura requiere un espejo parabólico. El radio mínimo de curvatura, donde el paraboloide se cruza con su eje de rotación, es el radio que es el doble de la longitud focal.

Answer 3

En primer lugar, si un objeto se coloca en el radio de curvatura de un espejo cóncavo, la imagen invertida estaría en el mismo lugar. Esto sucede ya que cada rayo que se origina en el centro de curvatura golpearía el espejo en un ángulo normal y, por lo tanto, rebotaría de donde vino o se reflejará fuera del eje. El uso de la ecuación de lente delgada con distancias de imagen y objeto iguales a R, resulta en una distancia focal igual a R / 2

Answer 4

Vaya a esta página: Ecuación de espejo. Intenta entender la geometría. Vaya a la segunda entrada, titulada Mirror Geometry. Siga la lógica que conduce a la ecuación de aproximación pequeña h ~ = r θι ~ = f 2θι. Cancele el θι y quedará con r = 2f.