Deje que el radio del círculo, la longitud del arco, la longitud del acorde y la medida del ángulo subtendido por el arco sean [matemática] r, s, l [/ matemática] y [matemática] \ theta [/ matemática] respectivamente.
Se da que [matemática] s = 15 [/ matemática] cm y [matemática] l = 12 [/ matemática] cm.
[matemática] \ Rightarrow \ qquad r \ theta = 15 \ qquad [/ math] y [math] \ qquad 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) = 12. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ frac {15} {\ theta} = r = \ frac {6} {\ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right)}. [/ math]
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[math] \ Rightarrow \ qquad 15 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) = 6 \ theta. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta = 0. [/ math]
Se presume que estamos hablando de un arco menor. Por lo tanto, [matemáticas] 0 <\ theta \ le \ pi. [/ Matemáticas]
Deje [math] f (\ theta) = 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta, \ qquad 0 <\ theta \ le \ pi. [/ Math]
Veamos la naturaleza de esta función en el dominio dado.
[matemáticas] f ‘(\ theta) = \ frac {5} {2} \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2. [/ matemáticas]
En los puntos críticos, [matemática] f ‘(\ theta) = \ frac {5} {2} \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 = 0. [/ Math]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) = \ frac {4} {5}, \ qquad [/ math] que está entre [math] 0 [/ math ] y [matemáticas] \ frac {\ pi} {2}. [/ matemáticas]
[math] f ” (\ theta) = – \ frac {5} {4} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) <0 [/ math] cuando [math] \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) = \ frac {4} {5} [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La función tiene solo un punto crítico en su dominio, y ese es un máximo.
Cuando [math] \ theta = 0, [/ math] [math] 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta = 0. [/ Math] (Esto no es para se considerará que no hay un arco ni un acorde cuando [math] \ theta = 0 [/ math]).
Cuando [math] \ theta = \ pi, [/ math] [math] 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta = 5 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) – 2 \ pi = 5 – 2 \ pi <0. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La función tiene solo un cero y está entre [math] \ theta = \ arccos \ left (\ frac {4} {5} \ right) [/ math] y [math ] \ theta = \ pi. [/ math]
La función [matemática] f (\ theta) = 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta [/ math] no puede resolverse analíticamente y debe resolverse numéricamente. La solución numérica, utilizando el método de Newton Raphson, es la siguiente:
[matemáticas] f (\ theta) = 5 \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2 \ theta. [/ math]
Queremos el valor de [math] \ theta [/ math] para el cual [math] f (\ theta) = 0. [/ Math]
[matemáticas] f ‘(\ theta) = \ frac {5} {2} \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) – 2. [/ matemáticas]
Deje que la primera estimación de [math] \ theta [/ math] sea [math] \ theta_1. [/ Math]
Entonces, la segunda y mejor estimación sería [math] \ theta_2 = \ theta_1 – \ frac {f (\ theta_1)} {f ‘(\ theta_1)}. [/ Math]
La tercera y mejor estimación sería [math] \ theta_3 = \ theta_2 – \ frac {f (\ theta_2)} {f ‘(\ theta_2)}. [/ Math]
Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.
Para este caso particular, tomando la primera estimación [math] \ theta_1 = 2, [/ math] los detalles de las iteraciones son los siguientes:
Entonces, obtenemos la solución como [math] \ theta = 2.26220517. [/ Math]
Entonces, [matemáticas] r = \ frac {15} {\ theta} = \ frac {15} {2.26220517} = 6.63069831. [/ Matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El radio del círculo es [math] 6.63069831 [/ math] cm.