Cómo demostrar que el inverso de un círculo es un círculo

Answer 1

Primero, podemos usar el concepto de poder de un punto. Deje que [matemática] \ matemática S [/ matemática] sea un círculo y [matemática] P [/ matemática] un punto fuera de la circunferencia (interna o externa), luego dibuje cualquier línea recta [matemática] l [/ matemática] que pasa por [matemática] P [/ matemática] y corta [matemática] \ matemática S [/ matemática] en [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], luego [matemática] PA \ cdot PB [ / math] es una constante. Es el mismo valor independientemente de la secante [matemática] l [/ matemática]. Si [matemática] l [/ matemática] es una tangente a [matemática] \ matemática S [/ matemática], en el punto [matemática] C [/ matemática], entonces [matemática] PC ^ 2 = PA \ veces PB [/ matemática ]

Entonces, [math] O [/ math] sea el centro de la inversión, y [math] \ mathcal S [/ math] un círculo que no contenga [math] O [/ math]. Cualquier punto [matemática] A [/ matemática] en [matemática] \ matemática S [/ matemática] se transforma en [matemática] A ‘[/ matemática], de modo que [matemática] OA [/ matemática] y [matemática] OA’ [/ math] están en la misma línea, y [math] OA \ cdot OA ‘= 1 [/ math]. Esto significa que [matemática] A ‘[/ matemática] es el inverso de [matemática] A [/ matemática].

Sea [math] B [/ math] el otro punto en [math] \ mathcal S [/ math], cortado por secante [math] OA [/ math]. Entonces [math] B ‘[/ math], el inverso de [math] B [/ math], también está en secante [math] OA [/ math], y [math] OB \ cdot OB’ = 1 [/ math ] Dado que [math] OA \ cdot OB [/ math] es una constante, también lo es [math] OA ‘\ cdot OB’ [/ math].

Esto todavía no es una prueba formal, pero al comprender el poder de un teorema de puntos y cómo se prueba, puede terminarlo.

Answer 2

WLOG, el círculo está centrado en [math] (a, 0) [/ math], wth radio [math] 1 [/ math]. Usando la ecuación paramétrica del círculo, la distancia al origen es

[matemáticas] d ^ 2 = (a + \ cos t) ^ 2 + \ sin ^ 2t = a ^ 2 + 1 + 2a \ cos t [/ matemáticas], y la ecuación de la inversa es

[matemáticas] (x, y) = \ dfrac 1 {d ^ 2} (a + \ cos t, \ sin t) [/ matemáticas]. Si se trata de un círculo, su centro es el centro del segmento [matemática] \ izquierda (\ dfrac1 {a-1}, 0 \ derecha) [/ matemática] a [matemática] \ izquierda (\ dfrac1 {a + 1} , 0 \ right) [/ math] o [math] \ left (\ dfrac a {a ^ 2–1}, 0 \ right) [/ math].

Queda por demostrar que [matemáticas] \ left (x- \ dfrac a {a ^ 2–1} \ right) ^ 2 + y ^ 2 [/ math] es una constante.