La ecuación del círculo con centro.
([matemáticas] 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 [/ matemáticas]) es
[matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
Este círculo toca la línea [matemáticas] 3x-4y + 1 = 0 [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ implica 3x-4y + 1 = 0 [/ matemáticas] es una línea tangente del círculo.
[matemáticas] 3x-4y + 1 = 0 \ implica 4y = 3x + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica y = \ frac {3} {4} y + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] pendiente m [matemáticas] = \ frac {3} {4} [/ matemáticas].
Encuentre la derivada [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] del círculo:
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (x-2) ^ 2 + \ frac {d} {dx} (y-3) ^ 2 = \ frac {d} {dx} r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2 (x-2) +2 (y-3) \ frac {d} {dx} (y-3) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ implica 2 (x-2) +2 (y-3) \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica 2 (x-2) = – 2 (y-3) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {2 (x-2)} {- 2 (y-3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {2-x} {y-3} [/ matemáticas]
Establecer [matemática] \ frac {dy} {dx} = m [/ matemática]
[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {3k} {4k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {2-x} {y-3} = \ frac {3k} {4k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2-x = 3k [/ matemáticas], y [matemáticas] y-3 = 4k [/ matemáticas]
[matemática] \ implica x = 2-3k [/ matemática] y [matemática] y = 4k + 3 [/ matemática]
Conéctelos a [matemática] 3x-4y + 1 = 0 [/ matemática]:
[matemáticas] 3 (2-3k) -4 (4k + 3) + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 6-9k-16k-12 + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica -25k-6 + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica -25k-5 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica -25k = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica k = \ frac {5} {- 25} = – \ frac {1} {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x = 2-3 (- \ frac {1} {5}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 + \ frac {3} {5} = \ frac {10} {5} + \ frac {3} {5} = \ frac {13} {5} [/ matemáticas]
y [matemáticas] y = 4 (- \ frac {1} {5}) + 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ frac {4} {5} + \ frac {15} {5} = \ frac {11} {5} [/ matemáticas].
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] el círculo se encuentra con la línea en el punto
([matemáticas] \ frac {13} {5} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {11} {5} [/ matemáticas]).
Encuentre la distancia r entre ([matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática]) y ([matemática] \ frac {13} {5} [/ matemática], [matemática] \ frac {11} {5} [/ matemáticas]):
[matemáticas] r = \ sqrt {(2- \ frac {13} {5}) ^ 2+ (3- \ frac {11} {5}) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {10} {5} – \ frac {13} {5}) ^ 2 + (\ frac {15} {5} – \ frac {11} {5}) ^ 2} [/matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {(- \ frac {3} {5}) ^ 2 + (\ frac {4} {5}) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {9} {5} + \ frac {16} {25}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {25} {25}} = \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas].
[matemática] \ por lo tanto r = 1 [/ matemática] y la ecuación del círculo es
[matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]