¿Cuál es la ecuación de un círculo con el centro en (2,3) y tocando la línea 3x-4y + 1 = 0?

Answer 1

La ecuación del círculo con centro.

([matemáticas] 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 [/ matemáticas]) es

[matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Este círculo toca la línea [matemáticas] 3x-4y + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3x-4y + 1 = 0 [/ matemáticas] es una línea tangente del círculo.

[matemáticas] 3x-4y + 1 = 0 \ implica 4y = 3x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {3} {4} y + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] pendiente m [matemáticas] = \ frac {3} {4} [/ matemáticas].

Encuentre la derivada [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] del círculo:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (x-2) ^ 2 + \ frac {d} {dx} (y-3) ^ 2 = \ frac {d} {dx} r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 (x-2) +2 (y-3) \ frac {d} {dx} (y-3) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica 2 (x-2) +2 (y-3) \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica 2 (x-2) = – 2 (y-3) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {2 (x-2)} {- 2 (y-3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {2-x} {y-3} [/ matemáticas]

Establecer [matemática] \ frac {dy} {dx} = m [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {dx} = \ frac {3k} {4k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {2-x} {y-3} = \ frac {3k} {4k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2-x = 3k [/ matemáticas], y [matemáticas] y-3 = 4k [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x = 2-3k [/ matemática] y [matemática] y = 4k + 3 [/ matemática]

Conéctelos a [matemática] 3x-4y + 1 = 0 [/ matemática]:

[matemáticas] 3 (2-3k) -4 (4k + 3) + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 6-9k-16k-12 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -25k-6 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -25k-5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -25k = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica k = \ frac {5} {- 25} = – \ frac {1} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 2-3 (- \ frac {1} {5}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 + \ frac {3} {5} = \ frac {10} {5} + \ frac {3} {5} = \ frac {13} {5} [/ matemáticas]

y [matemáticas] y = 4 (- \ frac {1} {5}) + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {4} {5} + \ frac {15} {5} = \ frac {11} {5} [/ matemáticas].

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] el círculo se encuentra con la línea en el punto

([matemáticas] \ frac {13} {5} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {11} {5} [/ matemáticas]).

Encuentre la distancia r entre ([matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática]) y ([matemática] \ frac {13} {5} [/ matemática], [matemática] \ frac {11} {5} [/ matemáticas]):

[matemáticas] r = \ sqrt {(2- \ frac {13} {5}) ^ 2+ (3- \ frac {11} {5}) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {10} {5} – \ frac {13} {5}) ^ 2 + (\ frac {15} {5} – \ frac {11} {5}) ^ 2} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {(- \ frac {3} {5}) ^ 2 + (\ frac {4} {5}) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {9} {5} + \ frac {16} {25}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {25} {25}} = \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas].

[matemática] \ por lo tanto r = 1 [/ matemática] y la ecuación del círculo es

[matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Answer 2

Asumiré que “tocando la línea” quiere decir exactamente en 1 punto, en lugar de tener 2 intersecciones.

Esto podría hacerse como un problema de optimización en el cálculo, pero utilizaré las matemáticas de la escuela secundaria para ello.

La distancia más corta desde un punto a una línea será un segmento de línea perpendicular desde la línea hasta el punto.

Resolviendo la ecuación de la línea para [math] y [/ math]:

[matemáticas] y = \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la pendiente de la línea es [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática], la pendiente de una línea perpendicular es el recíproco negativo, o [matemática] – \ frac {4} {3} [/ matemática], por lo tanto, una línea perpendicular tendrá la forma [matemática] y = – \ frac {4} {3} x + b [/ matemática]. Para encontrar el valor de [math] b [/ math], podemos usar el punto.

[matemáticas] 3 = – \ frac {4} {3} (2) + b [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {17} {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la línea perpendicular que pasa por [matemática] (2,3) [/ matemática] es [matemática] y = – \ frac {4} {3} x + \ frac {17} {3} [/ matemática]. El punto más cercano en la línea original será la intersección de las 2 líneas.

[matemáticas] \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {4} = – \ frac {4} {3} x + \ frac {17} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 9x + 3 = -16x + 68 [/ matemáticas]

[matemáticas] 25x = 65 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {65} {25} = \ frac {13} {5} [/ matemáticas]

Conectando eso nuevamente en una de las líneas, obtenemos:

[matemática] y = – \ frac {4} {3} \ izquierda (\ frac {13} {5} \ derecha) + \ frac {17} {3} = \ frac {11} {5} [/ matemática]

Ahora que sabemos el punto que es la distancia más corta, podemos calcular cuál es la distancia más corta:

[matemáticas] \ sqrt {(\ frac {13} {5} – 2) ^ 2 + (\ frac {11} {5} – 3) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {\ frac {9} {25} + \ frac {16} {25}} = 1 [/ matemáticas]

La distancia más corta es 1, entonces el círculo es:

[matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Graficaré las 3 funciones usando Desmos | Beautiful, Free Math para que pueda ver que esta es realmente la solución:

La línea roja es la línea dada en el problema, el punto negro es el punto dado en el problema. La línea azul es la línea perpendicular que calculé. El círculo verde es la solución.

Answer 3

Queremos la ecuación del círculo con el centro en [matemáticas] (2,3) [/ matemáticas] y tocando la línea [matemáticas] 3x-4y + 1 = 0. [/ Matemáticas]

Como el centro del círculo está en [matemática] (2,3) [/ matemática] su ecuación sería [matemática] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] para algún radio [math] r [/ math].

El problema ahora se reduce a encontrar el radio.

El radio de un círculo es perpendicular a la tangente al círculo en cualquier punto.

La distancia de un punto [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] desde una línea [matemática] ax + por + c = 0 [/ matemática] es [matemática] | \ frac {ax_1 + por_1 + c} {\ \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} | [/ math] [math]. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La distancia desde el centro del círculo [math] (2,3) [/ math] a la línea [math] 3x-4y + 1 = 0 [/ math] es [ matemáticas] | \ frac {6-12 + 1} {\ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2}} | [/ matemáticas] [matemáticas] = 1. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad r = 1. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La ecuación del círculo es [math] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 1. [/ math]

Answer 4

Conocemos el centro del círculo. Lo que falta es su radio. El radio es la distancia a la línea tangente.

Para encontrarlo hacemos lo siguiente.

Reescribe la ecuación de la línea dividiendo ambas partes por sqrt (3 ^ 2 + (- 4) ^ 2) = 5.

(3/5) x- (4/5) y + 1/5 = 0.

Este tipo de ecuación de línea le permite encontrar la distancia a la línea desde cualquier punto dado sustituyendo la coordenada del punto en el lado izquierdo y tomando el módulo.

Entonces la distancia de (2,3) a la línea es | (3/5) 2- (4/5) 3 + 1/5 | = 1.

Ahora que sabes el radio del círculo, es 1.

La respuesta es entonces

(x-1) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = 1