La pregunta es incorrecta porque el punto [matemáticas] (a \ cos \ alpha, y \ cos \ alpha) [/ matemáticas] no se encuentra en la elipse. Creo que la pregunta es que el punto de contacto es [matemáticas] (a \ cos \ alpha, b \ sin \ alpha) [/ matemáticas] que, de hecho, se encuentra en la curva.
La ecuación de la tangente a la elipse dada en el punto [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] de contacto es
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {xx_1} {a ^ 2} + \ frac {aa_1} {b ^ 2} = 1 \\ [/ matemáticas]
Aquí, [math] (x_1, y_1) \ equiv (a \ cos \ alpha, b \ sin \ alpha) [/ math], y la ecuación de la tangente en este punto es, por lo tanto,
- Si dos medianas de un triángulo son iguales, ¿se puede demostrar que es un isósceles?
- Cómo encontrar la posición de una línea mientras se le da la ecuación de una línea
- ¿Cuál es la fórmula para el volumen de un cubo?
- Cómo encontrar la circunferencia de un círculo.
- ¿Cuál es la ecuación de un círculo con el centro en (2,3) y tocando la línea 3x-4y + 1 = 0?
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x \ cos \ alpha} {a} + \ frac {y \ sin \ alpha} {b} = 1 \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {a \ sec \ alpha} + \ frac {y} {b \ csc \ alpha} = 1 \\ [/ matemáticas]
Esta tangente corta claramente el eje [matemático] X [/ matemático] en [matemático] A (a \ sec \ alpha, 0) [/ matemático] y el eje [matemático] Y [/ matemático] en [matemático] B (0, b \ csc \ alpha) [/ math].
Deje que [matemáticas] P (x, y) [/ matemáticas] sea un punto en el lugar geométrico. Para que [math] P [/ math] sea el punto medio del segmento [math] AB [/ math], debemos tener
[matemática] \ displaystyle x = \ frac {a \ sec \ alpha} {2}, y = \ frac {b \ csc \ alpha} {2} [/ math].
Es decir,
[matemática] \ displaystyle \ cos \ alpha = \ frac {a} {2x}, \ sin \ alpha = \ frac {b} {2y} [/ math].
Eliminando [math] \ alpha [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {a ^ 2} {4x ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {4y ^ 2} = \ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha = 1 \\ [/ matemáticas ]
y por lo tanto el lugar geométrico de [matemáticas] P [/ matemáticas] es
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {a ^ 2} {x ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {y ^ 2} = 4 [/ matemáticas].