Si dos medianas de un triángulo son iguales, ¿se puede demostrar que es un isósceles?

Answer 1

Si dos medianas de un triángulo son iguales, ¿se puede demostrar que es un isósceles?

El teorema de Apolonio dice que “la suma de los cuadrados de cualquiera de los dos lados de cualquier triángulo es igual al doble del cuadrado en la mitad del tercer lado, junto con el doble del cuadrado en la mediana que divide el tercer lado”. [1]

Etiquetemos nuestro triángulo para que los vértices sean [matemática] A, [/ matemática] [matemática] B, [/ matemática] y [matemática] C, [/ matemática] las longitudes laterales opuestas a los vértices son [matemática] a, [/ matemática] [matemática] b, [/ matemática] y [matemática] c, [/ matemática] y las medianas son [matemática] m_a, [/ matemática] [matemática] m_b, [/ matemática] y [matemática] m_c. [ /matemáticas]

Ahora, el teorema de Apolonio dice

[matemáticas] \ qquad b ^ 2 + c ^ 2 = 2 \ left (\ dfrac {a} {2} \ right) ^ {\! 2} + 2m_a ^ {~ 2}, [/ math] y

[matemáticas] \ qquad c ^ 2 + a ^ 2 = 2 \ izquierda (\ dfrac {b} {2} \ derecha) ^ {\! 2} + 2m_b ^ {~ 2}. [/ matemáticas]

Duplicando ambas ecuaciones y moviendo las longitudes medias al cuadrado a un lado de cada ecuación,

[matemáticas] \ qquad 4m_a ^ {~ 2} = 2b ^ 2 + 2c ^ 2-a ^ 2, [/ matemáticas] y

[matemáticas] \ qquad 4m_b ^ {~ 2} = 2c ^ 2 + 2a ^ 2-b ^ 2. [/ matemáticas]

Al establecer estas longitudes medias cuadradas iguales entre sí,

[matemáticas] \ qquad 2b ^ 2 + 2c ^ 2-a ^ 2 = 2c ^ 2 + 2a ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas]

Recopilación de términos,

[matemáticas] \ qquad 3b ^ 2 = 3a ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces el triángulo es isósceles.

Notas al pie

[1] Teorema de Apolonio – Wikipedia

Answer 2

En el diagrama a continuación, las medianas de un triángulo se trisecan entre sí. Por lo tanto, los triángulos [math] GDB [/ math] y [math] GEC [/ math] son ​​congruentes. Por lo tanto, [matemática] CE = BD [/ matemática] y así [matemática] AC = AB [/ matemática].

Answer 3

Si.

Aquí hay un resumen. Usa el teorema de que las medianas de un triángulo se cruzan en un punto 2/3 del camino a lo largo de cada medio desde cada vértice hasta el lado opuesto. Dibuja la tercera mediana en la base del triángulo formando tres pares de triángulos pequeños. Podrás demostrar que forman tres pares de triángulos congruentes. Esto te permitirá probar que el triángulo es isósceles.

Answer 4

Seguro. Use el hecho de que las medianas cortan un tercio entre sí. Luego, dos triángulos pequeños entre las medianas y los lados son iguales (SAS), por lo que los ángulos en la base son iguales.

Probar que un triángulo es isósceles si sus bisectrices son iguales es mucho más difícil. ¡Prueba esto!

Answer 5

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