Únicamente a partir de la observación, la forma de las dos curvas es un círculo ([matemática] r = 2 [/ matemática]) y una elipse ([matemática] r_x = 1, r_y = \ sqrt 5 [/ matemática]), dándoles cuatro puntos de intersección, cada uno un reflejo y / o rotación de los demás. Si por “ángulo entre” te refieres al ángulo entre sus respectivas líneas tangentes en los puntos de intersección, entonces …
Primero, necesita encontrar las coordenadas de uno de los puntos de intersección; para simplificar, usemos el del Cuadrante I.
[matemáticas] 4-x ^ 2 = 5-5x ^ 2 \ implica 4x ^ 2 = 1 \ implica x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemática] \ a (\ frac {1} {2}) ^ 2 + y ^ 2 = 4 \ implica y = \ frac {\ sqrt {15}} {2} \ aprox 1.936 [/ matemática]
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Puede conectar esas coordenadas en cada ecuación para confirmar que son una solución para ambas ecuaciones. En el gráfico a continuación, se muestran las dos curvas y sus cuatro intersecciones:
Ahora, necesita la pendiente de cada curva en un punto dado:
Círculo: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (4) \ implica 2x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {x} {y} [/ math]
Elipse: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (5x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (5) \ implica 10x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {5x} {y} [/ math]
Enchufar las coordenadas de la intersección:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {circle} = – \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {1} {\ sqrt {15}} = – \ frac {\ sqrt {15}} {15} [/ math]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {elipse} = – 5 \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {5} { \ sqrt {15}} = – \ frac {5 \ sqrt {15}} {15} = – \ frac {\ sqrt {15}} {3} [/ math]
En el gráfico a continuación, la línea naranja es tangente al círculo en el punto de intersección, la línea púrpura es tangente a la elipse y [math] \ theta [/ math] es el ángulo agudo entre ellos:
Para encontrar el ángulo entre esas dos líneas tangentes, toma la tangente inversa de cada pendiente y resta: [matemática] \ theta = \ tan ^ {- 1} (- \ frac {\ sqrt {15}} {15}) – \ tan ^ {- 1} (\ frac {\ sqrt {15}} {3}) \ aprox (-14.48 °) – (- 52.24 °) \ aprox 37.76 ° [/ matemáticas]