Cómo encontrar el ángulo entre las curvas [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 4 \ text {y} 5x ^ 2 + y ^ 2 = 5 [/ matemáticas]

Únicamente a partir de la observación, la forma de las dos curvas es un círculo ([matemática] r = 2 [/ matemática]) y una elipse ([matemática] r_x = 1, r_y = \ sqrt 5 [/ matemática]), dándoles cuatro puntos de intersección, cada uno un reflejo y / o rotación de los demás. Si por “ángulo entre” te refieres al ángulo entre sus respectivas líneas tangentes en los puntos de intersección, entonces …

Primero, necesita encontrar las coordenadas de uno de los puntos de intersección; para simplificar, usemos el del Cuadrante I.

[matemáticas] 4-x ^ 2 = 5-5x ^ 2 \ implica 4x ^ 2 = 1 \ implica x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemática] \ a (\ frac {1} {2}) ^ 2 + y ^ 2 = 4 \ implica y = \ frac {\ sqrt {15}} {2} \ aprox 1.936 [/ matemática]

Puede conectar esas coordenadas en cada ecuación para confirmar que son una solución para ambas ecuaciones. En el gráfico a continuación, se muestran las dos curvas y sus cuatro intersecciones:

Ahora, necesita la pendiente de cada curva en un punto dado:

Círculo: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (4) \ implica 2x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {x} {y} [/ math]

Elipse: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (5x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (5) \ implica 10x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {5x} {y} [/ math]

Enchufar las coordenadas de la intersección:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {circle} = – \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {1} {\ sqrt {15}} = – \ frac {\ sqrt {15}} {15} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {elipse} = – 5 \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {5} { \ sqrt {15}} = – \ frac {5 \ sqrt {15}} {15} = – \ frac {\ sqrt {15}} {3} [/ math]

En el gráfico a continuación, la línea naranja es tangente al círculo en el punto de intersección, la línea púrpura es tangente a la elipse y [math] \ theta [/ math] es el ángulo agudo entre ellos:

Para encontrar el ángulo entre esas dos líneas tangentes, toma la tangente inversa de cada pendiente y resta: [matemática] \ theta = \ tan ^ {- 1} (- \ frac {\ sqrt {15}} {15}) – \ tan ^ {- 1} (\ frac {\ sqrt {15}} {3}) \ aprox (-14.48 °) – (- 52.24 °) \ aprox 37.76 ° [/ matemáticas]

Podemos inferir que la forma de las dos curvas dadas son 1) un círculo de [matemáticas] r = 2 [/ matemáticas] y una elipse de [matemáticas] a = 1, b = \ sqrt 5, [/ matemáticas] [matemáticas ] [/ matemática] esto se obtiene al comparar con formas estándar, estas dos curvas tienen cuatro puntos de intersección, cada una es una reflexión (un conjugado en otro cuadrante) y / o rotación de las otras.

Tampoco es posible calcular el ángulo entre dos curvas, sin embargo, es posible obtener el ángulo entre dos tangentes (líneas) en el punto de intersección, la pendiente de una curva en cualquier punto no es más que la pendiente de la tangente en el mismo punto. Por lo tanto, el problema ahora se reduce para encontrar el ángulo entre dos tangentes.

Primero, necesitamos deducir las coordenadas de uno de los puntos de intersección; para facilitar la solución, usemos el del primer cuadrante.

[matemáticas] 4-x ^ 2 = 5-5x ^ 2 \ implica 4x ^ 2 = 1 \ implica x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemática] \ a (\ frac {1} {2}) ^ 2 + y ^ 2 = 4 \ implica y = \ frac {\ sqrt {15}} {2} [/ matemática]

Para la verificación cruzada, uno puede poner esas coordenadas en cada ecuación para confirmar que son la solución para ambas ecuaciones.

Ahora, necesitamos la pendiente de cada curva en un punto dado:

Para Círculo: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (4) \ implica 2x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {x} {y} [/ math]

Para Ellipse: [matemáticas] \ frac {d} {dx} (5x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {dx} (5) \ implica 10x + 2y \ frac {dy} {dx} = 0 \ implica \ frac {dy} {dx} = – \ frac {5x} {y} [/ math]

Insertar las coordenadas de la intersección:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {circle} = – \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {1} {\ sqrt {15}} = – \ frac {\ sqrt {15}} {15} = m_1 [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} _ \ text {elipse} = – 5 \ frac {1} {2} \ div \ frac {\ sqrt {15}} {2} = – \ frac {5} { \ sqrt {15}} = – \ frac {5 \ sqrt {15}} {15} = – \ frac {\ sqrt {15}} {3} = m_2 [/ matemáticas]

Ahora para encontrar el ángulo entre esas dos pendientes,

[matemáticas] \ theta = | \ tan ^ {- 1} {\ frac {m1-m2} {1 + m1.m2}} | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] \ theta = | \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ frac {\ sqrt {-15}} {15}} – \ frac {\ sqrt {15} } {3} {1+ \ frac {\ sqrt {-15}} {15}} • \ frac {\ sqrt {15}} {3}} | [/ math]

Una buena manera de hacerlo es encontrar el Gradiente [matemáticas] grad (F) [/ matemáticas] o [matemáticas] \ nabla (F) [/ matemáticas]. Para una función implícita [matemáticas] F (x, y) = 0 [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] grad (F) = \ begin {pmatrix} \ frac {dF} {dx} \\ \ frac {dF} {dy} \ end {pmatrix} [/ math].

Esto da un vector normal a la curva. Para la primera función [matemáticas] F (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 -4 [/ matemáticas] y

[matemáticas] grad (F) = \ begin {pmatrix} 2 x \\ 2 y \ end {pmatrix} [/ math].

para el segundo [matemáticas] G (x, y) = 5 x ^ 2 + y ^ 2 – 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] grad (G) = \ begin {pmatrix} 10 x \\ 2 y \ end {pmatrix} [/ math].

El ángulo entre las dos tangentes será el ángulo entre las dos normales que podemos encontrar en el producto escalar.

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {grad (F) \ cdot grad (G)} {| grad (F) | \ | grad (G) | }[/matemáticas]

Para el punto [matemáticas] x = \ frac12, y = \ frac {\ sqrt {15}} {2} [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] grad (F) = \ begin {pmatrix} 1 \\ \ sqrt {15} \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] grad (G) = \ begin {pmatrix} 5 \\ \ sqrt {15} \ end {pmatrix} [/ math]

El producto de punto es

[matemáticas] grad (F) \ cdot grad (G) = 5 + 15 = 20 [/ matemáticas]

las longitudes de los dos vectores son

[matemáticas] | grad (F) | = \ sqrt {1 + 15} = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] | grad (G) | = \ sqrt {25 + 15} = 2 \ sqrt {10} [/ math]

entonces

[matemáticas] \ cos \ theta = \ frac {20} {8 \ sqrt {10}} = \ frac {10} {4 \ sqrt {10}} = \ frac {\ sqrt {10}} {4} [/ matemáticas]

y [matemáticas] \ theta \ aprox 37.761243907035045. [/ matemáticas]

El primer tipo es un círculo y el segundo tipo es una elipse. Resolvamos los 4 puntos donde se encuentran.

x = +/- 1/2 e y = +/- sqrt (3.75)

Ahora tenemos 4 puntos. Ahora sabemos que dado que la elipse está centrada en el origen y en el círculo, además de que la elipse no está inclinada en ángulo con respecto al eje xy, sino vertical u horizontal por el hecho de que solo tiene términos cuadrados x e y,

Todos los puntos se cortan en el mismo ángulo, excepto para rotación de 180 o 90 grados

Ahora encuentre la pendiente de ambos en cada círculo y elipse para cualquiera de los puntos. Toma el bronceado inverso y restarlo. Soy demasiado vago para calcular la respuesta. Pero espero haberte dirigido a eso.