¿Cuál será el ortocentro de un triángulo con coordenadas (a, 1 / a), (b, 1 / b) y (c, 1 / c)?

Orthocentre es donde se encuentran las altitudes de un triángulo. Cada altitud es una línea que pasa a través de un vértice y perpendicular al lado opuesto.

Si los vértices de [matemáticas] \ triángulo ABC [/ matemáticas] son

  • [matemáticas] A = (a, \ frac {1} {a}) [/ matemáticas]
  • [matemáticas] B = (b, \ frac {1} {b}) [/ matemáticas]
  • [matemáticas] C = (c, \ frac {1} {c}) [/ matemáticas]

entonces la ecuación de la altitud a través de A será

[matemáticas] \ quad \ dfrac {y- \ frac {1} {a}} {xa} = \ dfrac {-1} {\ text {pendiente de} BC} = \ dfrac {- (bc)} {\ left (\ frac {1} {b} – \ frac {1} {c} \ right)} [/ math]

Del mismo modo, la ecuación de la altitud a través de B será

[matemáticas] \ dfrac {y- \ frac {1} {b}} {xb} = \ dfrac {- (ca)} {\ left (\ frac {1} {c} – \ frac {1} {a} \ right)} [/ math]

Resolviendo las dos ecuaciones simultáneas, obtenemos el ortocentro como:

[matemáticas] \ quad \ left (\ dfrac {-1} {abc}, – abc \ right) [/ math]

Sea A: (a, 1 / a), B: (b, 1 / b) y C: (c, 1 / c). Pendiente AB: m = (1 / b-1 / a) / (ba) = – 1 / (ab). Por lo tanto, la pendiente de perpendicular a AB, m ‘= ab y su ecuación: y = m’x + k y esto pasa por (c.1 / c). Por lo tanto, (1 / c) = abc + k o eqn de perpendicular a AB: y = abx + 1 / c – abc. Del mismo modo, eqn, de perpendicular a BC que pasa por A: y = bcx + 1 / a – abc. Resuelve las dos ecuaciones para obtener el ortocentro de tr. ABC como: [- 1 / (abc), – (abc)]

Observe que los puntos [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] se encuentran en la hipérbola rectangular [matemática] xy = 1 [/ matemática].

Reclamación: si se dibuja un triángulo con vértices [matemáticas] A (a, \ frac {1} {a}), B (b, \ frac {1} {b}) [/ matemáticas] y [matemáticas] C (c , \ frac {1} {c}) [/ math] en una hipérbola rectangular, entonces su ortocentro también se encuentra en la misma curva; teniendo coordenadas

[matemáticas] H (\ frac {-1} {abc}, – abc) [/ matemáticas]

Animo al lector a completar la prueba simplemente escribiendo las ecuaciones de dos altitudes y resolviéndolas.