Si un triángulo está formado por medianas de un triángulo rectángulo, ¿es también un triángulo rectángulo? ¿Cuál es la razón de lados del triángulo rectángulo original?

Answer 1

Solo, en el caso de un triángulo de ángulo recto isósceles, obtienes solo dos RAT similares que son similares a la RAT original. Estos están formados por la mediana dibujada desde el ángulo recto sobre la hipotenusa. Los triángulos formados al dibujar medianas de los otros vértices con 45 grados, producirán 2 RAT similares, pero no serán similares a la RAT principal. Estas medianas también producirán 2 pares de triángulos similares: un par como RAT y otro par como triángulos de ángulo obtuso escaleno.

Explicación: Considere un ABCD cuadrado del lado 8. Dibuje las diagonales AC y BD y deje que se crucen en O. BCD es una RAT isósceles. BD = 8 * 2 ^ 0.5 = 11.31. CO es una mediana y tanto BOC como DOC son RATS congruentes. Estas RATS subsidiarias son similares a la RAT original – BCD. Y la relación de los lados de la RAT original a la RAT subsidiaria es 2 ^ 0.5: 1.

DE es la mediana en BC y BF en la mediana en CD. DE forma dos triángulos: BED y CDE. BF forma dos triángulos: BCF y BDF. Ahora, CDE y BCF son RATS congruentes, mientras que BDE y BDF son triángulos obtusos escalenos congruentes. BF = DE = [8 ^ 2 + 4 * 2] ^ 0.5 = 8.94. Entonces, los lados de BCF y CDE son 4, 8 y 8.94 unidades. Y los lados de BDE y BDF son 11.31, 4 y 8.94 unidades.

En todas las otras RAT, con lados desiguales no obtendrás ninguna RAT al dibujar las tres medianas. Por lo tanto, no habrá similitud entre la RAT original y los triángulos formados por las tres medianas.

Explicación. Considere una RAT, PQR de lados PQ = 6, QR = 8 y PR = 10. PX, QY y RZ son las medianas. PQY es un triángulo isósceles de lados 5–5–8, mientras que QRY es un triángulo isósceles de lados 6–6–8. PQX es una RAT de lados 8–3–8.54, mientras que QRZ es una RAT de lados 6–4–7.21. Por lo tanto, no hay similitud entre el RAT original y los RAT formados por las medianas PX y RZ que dan como resultado RAT: PQX y QRZ.

Answer 2

Deje que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] sean longitudes de los dos lados perpendiculares de un triángulo rectángulo [matemática] ABC [/ matemática], y [matemática] c [/ matemática] sea su hipotenusa . Sea [math] d [/ math] y [math] e [/ math] las longitudes de las medianas en los lados perpendiculares y [math] f [/ math] sea la mediana de la hipotenusa.

Usando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos más pequeños formados por las medianas en los lados perpendiculares, tenemos

[matemáticas] \ qquad d ^ 2 = \ dfrac {a ^ 2} {4} + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad e ^ 2 = a ^ 2 + \ dfrac {b ^ 2} {4} [/ matemáticas]

También tenemos

[matemáticas] \ qquad f = \ dfrac {c} {2} [/ matemáticas]

porque el círculo de un triángulo rectángulo está centrado en el punto medio de la hipotenusa.

Entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {align} \ qquad f ^ 2 & = \ dfrac {c ^ 2} {4} \\\\ & = \ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {4} \ end {align} [/matemáticas]

Notamos eso

[matemáticas] \ qquad d ^ 2 + e ^ 2 \ ne f ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad e ^ 2 + f ^ 2 \ ne d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad f ^ 2 + d ^ 2 \ ne e ^ 2 [/ matemáticas]

Esto prueba que las medianas de un triángulo rectángulo no forman otro triángulo rectángulo.

Answer 3

En primer lugar, las medianas son lineales. Además de eso, también tienen un punto de intersección en el triángulo conocido como centroide. Una vez que pasan por el centroide, se van por caminos separados. Por lo tanto, no hay un triángulo que pueda ser formado por las medianas de cualquier triángulo, y mucho menos un triángulo rectángulo.

Answer 4

Supongo que lo que quisiste decir con esta pregunta es: si ABC es un triángulo rectángulo con 90 grados en B. Los puntos medios de AC, AB y BC dicen D, E y F respectivamente. ¿Es el triángulo DEF, un triángulo rectángulo?

Estoy en lo cierto? Si entonces, DEF es un triángulo rectángulo que es similar a ABC y la proporción de lados es 1: 2.

Compruébelo tomando AB = 3 cm, BC = 4 cm y AC = 5 cm.