Deje que ABC sea un triángulo con AB mayor que AC. Sea P un punto en la línea AB más allá de A, de modo que AP + PC = AB. Sea M el punto medio de BC y sea Q un punto en AB de modo que CQ sea perpendicular a AM. ¿Cómo se prueba que BQ = 2AP?

CONSTRUCCIÓN: Extienda [math] BA [/ math] a [math] A ‘[/ math] de modo que [math] A’P = PC. [/ Math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ angle PA’C = \ angle PCA ‘\ tag * {} [/ math]

PRUEBA:

Como [math] PC = PA ‘, [/ math]

[matemática] PC + AP = AP + PA ‘\ tag * {} [/ matemática]

[matemáticas] AB = AA ‘\ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] A [/ math] es el punto medio del segmento de línea [math] A’B [/ math].

Por lo tanto, dado que [matemática] M [/ matemática] es el punto medio de [matemática] BC [/ matemática] por el inverso del teorema del punto medio / BPT, [matemática] AM \ paralela A’C. [/ Matemática]

Porque [math] AM \ perp CQ, [/ math]

[matemática] \ angle QCA ‘= 90 ° \ etiqueta * {} [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemática] \ angle PQC = 90 ° – \ angle PA’C \ tag * {} [/ math]

[matemática] \ angle PQC = 90 ° – \ angle PCA ‘\ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ angle PQC = \ angle QCA ‘- \ angle PCA’ \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ angle PQC = \ angle QCP \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto PQ = PC \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] AP + AQ = PC \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] AP + AQ = AB-AP \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2AP = AB-AQ \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2AP = BQ \ etiqueta * {} [/ matemáticas]