En el paralelogramo ABCD, donde AB = 5, BC = 8 y ángulo B = 45 grados, ¿cuál es el valor de (AB) ^ 2 + (BD) ^ 2?

Answer 1

¿Estás seguro de que quieres (AB) ^ 2 + (BD) ^ 2 y no (AC) ^ 2 + (BD) ^ 2 ? Ya que ya sabes AB , y además, la suma de los cuadrados de las diagonales en un paralelogramo es más interesante …

Como B es el ángulo agudo, tenemos AB paralelo e igual a CD, ambos de tamaño 5 unidades, y BC paralelo e igual a AD, ambos de tamaño 8 unidades. Entonces AC es la diagonal pequeña y BD la diagonal grande. Tenga en cuenta que si el ángulo B es agudo, sea cual sea su tamaño, llamémoslo “n” grados, entonces el ángulo C es obtuso y mide (180 – n), y cos (180-n) = – cos (n) (puede dibujar los ángulos en un círculo unitario para confirmar, si no está seguro de por qué es así).

BBC – GCSE Bitesize: La regla del coseno en el triángulo ABC da:

AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2 -2 AB x BC x cos (n)

Usando la regla del coseno nuevamente en el triángulo BCD, tenemos:

BD ^ 2 = CD ^ 2 + BC ^ 2 – 2 CD x BC x cos (180-n) = CD ^ 2 + BC ^ 2 + 2CD x BC x cos (n)

Agregando las expresiones para AC ^ 2 y para BD ^ 2 de arriba, y teniendo en cuenta que AB = CD, obtenemos:

AC ^ 2 + BD ^ 2 = 2 AB ^ 2 + 2 BC ^ 2

(ya que los términos que contienen cos (n) se cancelan entre sí). Reemplazando con números, obtendrá 2 x 25 + 2 x 64 = 178.

Entonces, parece que la suma de los cuadrados de las diagonales en un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados, independientemente de los ángulos.

( Por supuesto, si realmente quisiera calcular BD ^ 2, puede insertar los números y el valor para el coseno de 45 grados en la expresión anterior para BD ^ 2).

Answer 2

Como se etiqueta en el diagrama,

[matemáticas] A {B ^ 2} + B {D ^ 2} = 25 + {(8 + \ frac {5} {{\ sqrt 2}}) ^ 2} + {\ left ({\ frac {5} {{\ sqrt 2}}} \ right) ^ 2} = = 114 + 40 \ sqrt 2 [/ math].

Answer 3

Dado que

En el triángulo DAB, al aplicar la regla del coseno:

BD² = AB² + AD² – 2 AB. AD. cos 135 °

=> BD² = 25 + 64 – 2 * 40 * cos (90 ° + 45 °)

=> BD² = 89-80 * – sen 45 °

=> BD² = 89 + 40√2

=> BD² = 89 + 56.56

=> BD² = 145.56

=> BD² + AB ² = 145.56 + 25 = 170.56

Answer 4

Gracias por el A2A!

En el paralelogramo ABCD, donde AB = 5, BC = 8 y ángulo B = 45 grados, ¿cuál es el valor de (AB) ^ 2 + (BD) ^ 2?

Aplicando la regla del coseno y el hecho de que el ángulo [matemática] A [/ matemática] es [matemática] 135 ^ \ circ [/ matemática]:

[matemáticas] BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2-2 (AB) (AD) \ cos {135} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] BD ^ 2 = 25 + 64 + 80 \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} = 89 + 40 \ sqrt {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] AB ^ 2 + BD ^ 2 = 25 + 89 + 40 \ sqrt {2} = 114 + 40 \ sqrt {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 5

En el paralelogramo ABCD, AB = CD = 5, BC = AD = 8 y ángulo B =

En el triángulo ABD, BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2 + 2 * AB * AD * cos BAD

= 5 ^ 2 + 8 ^ 2 – 2 * 5 * 8 * cos 135

= 25 + 64 + 56.5685425

= 145.5685425

Entonces AB ^ 2 + BD ^ 2 = 25 + 145.5685425 = 170.5685425

Answer 6

Cuando copió este problema de tarea de su libro de texto, olvidó incluir una copia de la figura a la que se refiere este problema.

No le pidas a la gente de Quora que haga tu tarea por ti.

Answer 7

A2A, gracias.

Pregunta en Math Stack Exchange, prepárate para explicar qué esfuerzo has hecho y dónde te quedaste atascado. ¡Gracias!