¿Cuál es la pendiente de una tangente común a una elipse y un círculo concéntrico de radio R?

Answer 1

Supongo que la elipse tiene su eje mayor en el eje [matemático] x [/ matemático], y su ecuación es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas],

con

[matemáticas] b <R <a [/ matemáticas],

[matemática] R [/ matemática] es el eje del círculo.

Una línea tangente al círculo (tangencia que tiene lugar en el primer cuadrante), que forma un ángulo [matemático] \ varphi [/ matemático] con el eje [matemático] x [/ matemático] tiene una ecuación

[matemáticas] y + mx = R \ sqrt {1 + m ^ 2} [/ matemáticas],

dónde

[matemáticas] m = \ tan \ varphi [/ matemáticas]

es el valor absoluto de la pendiente de la línea.

Si esta línea es tangente a la elipse, el sistema que consiste en la ecuación de elipse y la ecuación de línea debe tener una sola solución (si tiene dos, la línea es una secante, y si no tiene ninguna, la línea no toca la elipse )

De la ecuación lineal

[matemáticas] y = R \ sqrt {1 + m ^ 2} -mx [/ matemáticas]

y reemplazándolo en la ecuación de elipse tenemos

[matemáticas] \ displaystyle b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2 \ left (R \ sqrt {1 + m ^ 2} -mx \ right) ^ 2 = a ^ 2b ^ 2 [/ math]

o

[matemáticas] \ displaystyle (b ^ 2 + a ^ 2m ^ 2) x ^ 2-2Ra ^ 2m \ sqrt {1 + m ^ 2} x + a ^ 2 [R ^ 2 (1 + m ^ 2) -b ^ 2] = 0 [/ matemáticas].

Para que esta ecuación tenga solo una solución, su discriminante debe ser cero

[matemáticas] 4R ^ 2a ^ 4m ^ 2 (1 + m ^ 2) – 4 (b ^ 2 + a ^ 2m ^ 2) a ^ 2 [R ^ 2 (1 + m ^ 2) -b ^ 2] = 0 [/ matemáticas]

o

[matemática] R ^ 2a ^ 2m ^ 2 (1 + m ^ 2) – (b ^ 2 + a ^ 2m ^ 2) [R ^ 2 (1 + m ^ 2) -b ^ 2] = 0 [/ matemática ]

Resolviendo esta ecuación para [math] m [/ math] obtenemos (suponiendo que [math] m> 0 [/ math])

[matemáticas] \ displaystyle m = \ frac {R ^ 2-b ^ 2} {a ^ 2-R ^ 2} [/ matemáticas].