La geometría (del griego antiguo: γεωμετρία; geo- “tierra”, -metron “medición”) surgió como el campo del conocimiento que se ocupa de las relaciones espaciales. La geometría era uno de los dos campos de las matemáticas premodernas, y el otro era el estudio de los números (aritmética).
La geometría clásica se centró en las construcciones de brújula y regla. La geometría fue revolucionada por Euclides, quien introdujo el rigor matemático y el método axiomático que todavía se usa en la actualidad. Su libro, The Elements es ampliamente considerado el libro de texto más influyente de todos los tiempos, y era conocido por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX. [1]
En los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado a un alto nivel de abstracción y complejidad, y se han sometido a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas del campo son apenas reconocibles como descendientes de la geometría temprana. (Ver Áreas de matemática y geometría algebraica).
Geometría temprana
- ¿Cuál es el radio de un triángulo?
- ¿Cuál debería ser el enfoque para resolver cualquier problema objetivo matemático (especialmente la geometría de coordenadas)?
- ¿Por qué los griegos no le dieron importancia al álgebra como le dieron a la geometría?
- ¿Qué tan pequeño puede ser un círculo?
- ¿Cuál es la altitud de un campo de triángulo rectángulo, cuya área es de 320 metros cuadrados y la base es de 28 metros?
Los primeros inicios de geometría registrados se remontan a los primeros pueblos, que descubrieron triángulos obtusos en el antiguo valle del Indo (ver Matemáticas de Harappan) y la antigua Babilonia (ver matemáticas de Babilonia) desde alrededor del 3000 a. C. La geometría temprana era una colección de principios empíricamente descubiertos con respecto a longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía, construcción, astronomía y diversas embarcaciones. Entre estos se encontraban algunos principios sorprendentemente sofisticados, y un matemático moderno podría tener dificultades para obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios estaban al tanto de las versiones del teorema de Pitágoras unos 1500 años antes de que Pitágoras y el indio Sulba Sutras alrededor del año 800 a. C. contenían las primeras declaraciones del teorema; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada;
Geometría egipcia
Artículo principal: geometría egipcia
Los antiguos egipcios sabían que podían aproximar el área de un círculo de la siguiente manera: [2]
Área del círculo ≈ [(Diámetro) x 8/9] 2.
El problema 30 del papiro de Ahmes usa estos métodos para calcular el área de un círculo, de acuerdo con una regla de que el área es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es 4 × (8/9) ² (o 3.160493 …), con un error de poco más de 0.63 por ciento. Este valor fue un poco menos preciso que los cálculos de los babilonios (25/8 = 3.125, dentro de 0.53 por ciento), pero no se superó hasta la aproximación de Arquímedes de 211875/67441 = 3.14163, que tuvo un error de poco más de 1 en 10,000 .
Curiosamente, Ahmes sabía del 22/7 moderno como una aproximación para π, y lo usó para dividir un hekat, hekat x 22 / xx 7/22 = hekat; sin embargo, Ahmes continuó usando el valor tradicional 256/81 para π para calcular su volumen hekat encontrado en un cilindro.
El problema 48 involucraba usar un cuadrado con unidades de lado 9. Este cuadrado se cortó en una cuadrícula de 3 × 3. La diagonal de los cuadrados de las esquinas se utilizó para hacer un octágono irregular con un área de 63 unidades. Esto dio un segundo valor para π de 3.111 …
Los dos problemas juntos indican un rango de valores para π entre 3.11 y 3.16.
El problema 14 en el papiro matemático de Moscú da el único ejemplo antiguo que encuentra el volumen de un tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:
{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (x_ {1} ^ {2} + x_ {1} x_ {2} + x_ {2} ^ {2}).}
Geometría babilónica
Artículo principal: matemática babilónica
Los babilonios pueden haber conocido las reglas generales para medir áreas y volúmenes. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como una doceava parte del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estima en 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y Sin embargo, la altura, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios. Además, hubo un descubrimiento reciente en el que una tableta usaba π como 3 y 1/8. Los babilonios también son conocidos por la milla de Babilonia, que era una medida de distancia igual a aproximadamente siete millas hoy. Esta medida de distancias eventualmente se convirtió en una milla de tiempo utilizada para medir el viaje del Sol, por lo tanto, representa el tiempo. [3] Ha habido descubrimientos recientes que muestran que los antiguos babilonios pudieron haber descubierto la geometría astronómica casi 1400 años antes que los europeos. [4]
Védica India
Rigveda manuscrito en Devanagari.
El período védico indio tenía una tradición de geometría, expresada principalmente en la construcción de altares elaborados. Los primeros textos indios (primer milenio antes de Cristo) sobre este tema incluyen el Satapatha Brahmana y el Śulba Sūtras. [5] [6] [7]
Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen “la primera expresión verbal existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios”.
La cuerda diagonal (akṣṇayā-rajju) de un oblongo (rectángulo) produce tanto el flanco (pārśvamāni) como el horizontal (tiryaṇmānī) que se producen por separado “. [8]
Contienen listas de triples pitagóricos, [9] que son casos particulares de ecuaciones de diofantina. [10] También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre cuadrar el círculo y “rodear el cuadrado”. [11]