Algebraica y geométricamente, ¿cómo identificas un tramo de vectores como una línea, un punto o un plano?

Answer 1

Para abarcar n dimensiones se necesitan n vectores, mínimo. Por ejemplo, un avión requiere 2 vectores. Supongamos que tenemos 3 vectores, a, by c. El vector a tiene 3 coordenadas (ax, ay, az), y así sucesivamente.

Algebraicamente :

Si solo abarcan:

punto : todos deben ser cero (0,0,0)

línea : deben ser múltiplos entre sí. Por ejemplo (1,1,1), (2,2,2) y (3,3,3) están todos en la misma línea.

plano : si no son todos múltiplos, entonces abarcan un plano si hay 3 números A, B y C, no todos cero, de modo que A * a + B * b + C * c = 0. Dos de ellos podrían ser múltiplos, o bien dos de ellos combinados equivalen al tercero.

volumen : si no cumplen las condiciones para abarcar un avión, decimos que son independientes. Por ejemplo (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Por cierto, también puede calcular este resultado algebraico tomando el determinante de la matriz formada por los 3 vectores. Si no es cero, abarcan un espacio tridimensional.

Geométricamente se ven así:

punto : todos 0, solo un punto en el origen

línea : todos están en la misma línea, llamados colineales o dependientes. El caso más simple, todos están en el eje x.

plano : si dos de ellos no están en la misma línea, deben abarcar un plano. Por ejemplo, el eje x y el eje y.

volumen : si el tercero no se encuentra en el plano definido por los dos primeros, pero sale en ángulo, abarcan todo el espacio tridimensional.

Por cierto, todo esto se generaliza a n dimensiones muy fácilmente.

Answer 2

Para definir un espacio de n dimensiones, necesita n vectores distintos de cero que tengan direcciones diferentes .

Por ejemplo: vector <0, 0, 0> es un vector cero. No contará como definir una dimensión.

Los vectores <1, 1, 1> y <2, 2, 2> tienen la misma dirección y, por lo tanto, solo pueden definir una forma unidimensional, es decir, una línea.

También es importante recordar que no hay forma de definir una línea específica con vectores. Por ejemplo, el vector <1, ​​1> puede definir y = xo y = x + 1. Debido a que los vectores no nos dan una posición, solo una dirección, no podemos definir dónde está la forma, solo cómo se ve .

Answer 3

La extensión de un conjunto de vectores n-dimensionales es básicamente la cantidad de espacio n-dimensional al que se puede llegar sumando combinaciones de esos vectores.

Por ejemplo, supongamos que tiene tres vectores en el espacio tridimensional. Si esos tres vectores son coplanares (todos encajan en un solo plano), abarcan un espacio de 2 días dentro de un espacio de 3 días. Si no puede ajustarlos a todos en un solo plano, entonces abarcan todo el espacio tridimensional.