Cómo probar (b ^ 2 – c ^ 2) cot A + (c ^ 2 – a ^ 2) cot B + (a ^ 2 – b ^ 2) cot C = 0 donde ABC es un triángulo

Answer 1

Ver el primer término,

[matemáticas] (b²-c²) cotA [/ matemáticas]

Escriba [matemática] b = 2RsinB [/ matemática] y [matemática] c = 2RsinC [/ matemática]

[matemáticas] 4R² (sin²B – sin²C) cotA [/ matemáticas]

[matemáticas] 4R² {sin (B + C) sin (BC)} cotA [/ matemáticas]

[matemáticas] 4R² {sin (π-A) sin (BC)} cotA [/ matemáticas]

[matemáticas] 4R² {sin (A) pecado (BC)} cotA [/ matemáticas]

[matemáticas] 4R²sin (BC) cosA [/ matemáticas]

Aplicar transformaciones,

[matemática] 2R² {sin (A + BC / 2) + sin (A-B + C / 2)} [/ matemática]

[matemáticas] 2R² {sin2C-sin2B) [/ matemáticas]

Por lo tanto, de manera similar podemos demostrar que,

[matemáticas] (c²-a²) cotB = 2R² (sin2A – sin2C) [/ matemáticas]

Y,

[matemáticas] (a²-b²) cotC = 2R² (sin2B – sin2A) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemática] (b²-c²) cotA + (c²-a²) cotB + (a²-b²) cotC = [/ matemática] [matemática] 2R² (sin2C – sin2B + sin2A – sin2C + sin2B – sin2A) = 0 [/ matemática ]

Answer 2

Deje K = área del triángulo ABC.

1/2 ab sinC = K o sinC = 2K / ab

1/2 ac senB = K o sinB = 2K / ac

1/2 bc sinA = K o sinA = 2K / bc

(b ^ 2 – c ^ 2) cotA = (b ^ 2 – c ^ 2) (cosA / sinA)

sustituto sinA valor

(b ^ 2 – c ^ 2) cotA = (b ^ 2 – c ^ 2) (bc cosA / 2K)

(b ^ 2 – c ^ 2) cotA = (b ^ 2 – c ^ 2) (2bc cosA / 4K)

Lo sabemos

2bc cosA = b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2

(b ^ 2 – c ^ 2) cotA = (b ^ 2 – c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 / 4K)

Similar,

(c ^ 2 – a ^ 2) cuna B = (c ^ 2 – a ^ 2) (c ^ 2 + a ^ 2 – b ^ 2 / 4K)

(a ^ 2 – b ^ 2) cot C = (a ^ 2 – b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 / 4K)

Por lo tanto

(b ^ 2 – c ^ 2) cot A + (c ^ 2 – a ^ 2) cot B + (a ^ 2 – b ^ 2) cot C

= (b ^ 2 – c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 / 4K) + (c ^ 2 – a ^ 2) (c ^ 2 + a ^ 2 – b ^ 2 / 4K) +

(a ^ 2 – b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 / 4K)

= (b ^ 4-c ^ 4-b ^ 2 a ^ 2 + c ^ 2 a ^ 2 + c ^ 4-a ^ 4-c ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 4- b ^ 4-a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) / 4K

= 0