¿Cuál es la longitud del radio de un círculo cuyo centro es (-4,0) y que corta una parábola y ^ 2 = 8x en A y B de modo que el acorde común AB subtiende un ángulo recto en el vértice de la parábola?

Answer 1

DADO: Un círculo con centro c (-4,0). Eje X e Y, cuyo origen es O (0,0)

El círculo corta la parábola y² = 8x (se muestra en rojo) en A y B.

En y² = 8x, para x = 0, y² = 0 => y = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola se encuentra en el origen como se muestra en la figura. Y el acorde común AB, subtiende ángulo de 90 ° en el vértice, es decir, en el origen.

PARA ENCONTRAR: radio CA =?

Desde, <AOB = 90 °

=> <AOM = 45 ° (como <AOM = <BOM)

=> OM = AM = a (siendo tri AMO un triángulo isósceles)

Por lo tanto, las coordenadas de A = (a, a)

=> en y² = 8x, poniendo el valor de x & y

obtenemos, a² = 8a

=> a = 8 ………… .. (1)

=> CM = CO + OM = 4 + 8 = 12 unidades

& AM = a = 8 unidades.

Entonces, radio CA = √ (12² + 8²)

=> CA = 144 + 64 = 208

=> radio CA = 4√13 unidad

Answer 2

Sea O (0,0) el vértice de la parábola, D (x, 0) el punto en el que el acorde AB corta el eje X, C (-4,0) es el centro del círculo.

Puede resolverlo algebraicamente haciendo ecuaciones complicadas y todo o simplemente explotar la simetría de este caso. El segundo siempre se recomienda. Menos la complejidad y el número total de pasos involucrados en la solución, menos será el número de errores que cometas.

Entonces el diagrama se verá así:

Espero que no haya dudas en el diagrama dado. Si tiene alguno, pregúntelo en los comentarios.

Hacia adelante,

Los triángulos ODA y ODB están en ángulo recto con un ángulo AOD y BOD igual a 45 grados cada uno. Eso significa que cada uno de ellos es un triángulo rectángulo isósceles. Eso significa,

DA = OD y DB = OD

OD = xy DA = DB = √ (8x)

x = √ (8x)

x = 8

CA es el radio del círculo requerido.

Tenemos CD = CO + OD = 4 + x = 4 + 8 = 12

AD = 8

Triangle CDA está en ángulo recto en D.

Aplica el teorema de Pitágoras.

Encontrará fácilmente CA.

Entonces tienes el radio del círculo 🙂

Answer 3

Resuelva las siguientes ecuaciones simultáneamente: y² = 8x, (x + 4) ² + y² = R², y / x = -1 para obtener: R = 4√ (13)