Si decimos que un triángulo está formado por tres puntos diferentes de la red, eso es
[matemáticas] \ displaystyle {100 \ elegir 3} = \ dfrac {100 \ cdot 99 \ cdot 98} {3 \ cdot 2 \ cdot 1} = 161,700 [/ matemáticas] triángulos diferentes.
Si no queremos contar los triángulos degenerados, formados a partir de tres puntos colineales, esa es una pregunta difícil. Veamos si podemos contar cuántos de estos [matemáticos] 161,700 [/ matemáticos] son triángulos degenerados.
Vamos a dar las coordenadas de puntos [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] cada una de 0 a 9.
- ¿Los vectores se representan como segmentos de línea o puntos en un gráfico?
- M es el punto en el lado BC de un triángulo ABC tal que AB es la bisectriz del ángulo BAC ¿es cierto decir que el perímetro del triángulo es mayor que 2AM?
- Si un círculo con un diámetro de 1 unidad tiene una circunferencia de pi, ¿entonces pi no tiene un valor finito ya que la circunferencia es una longitud finita?
- ¿Cuál es la derivación de la circunferencia y el área de un círculo?
- ¿Qué polígono regular tiene el área interna más grande dividida por el número de esquinas?
Consideremos primero la línea vertical [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Pasa por 10 puntos. Entonces [matemáticas] {10 \ elegir 3} = 10 (9) (8) / 3 (2) = 120 [/ matemáticas] se pueden hacer triángulos degenerados solo desde esta línea, por lo que 1200 para las 10 líneas verticales.
Del mismo modo, 1200 triángulos horizontales degenerados.
Los que están en líneas con pendientes son más complicados. Para la línea [math] ax + by = c [/ math] realmente solo tenemos que considerar las pendientes [math] \ dfrac ba [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son enteros entre -10 y 10.
Si queremos tres puntos en la línea, necesitamos [matemáticas] | a | [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | \ le 4. [/ math] Si un punto inicial [math] (x, y) [/ math] está en la línea, entonces también está [math] (x + b, ya) [/ math] y [math] (x + 2b, y-2a). [/ math] Eso es porque [math] a (x + b) + b (ya) = ax + by = c. [/ math] Necesitamos que el segmento encaje en la cuadrícula , que significa [matemática] x + 2b-x <10 [/ matemática] o [matemática] b <5 [/ matemática] y de manera similar [matemática] a <5. [/ matemática]
Entonces tenemos [matemática] 9 \ veces 9 = 81 [/ matemática] posibles pendientes. Podemos apegarnos a las matemáticas [negativas] b [/ matemática], ya que las pendientes negativas pueden ser cubiertas por las negativas [matemática] a [/ matemática ] s. También podemos eliminar los pares con factores compuestos. Eso es probablemente alrededor de treinta pares a considerar.
Tendré que meditar sobre cómo continuar con este, así que por ahora solo presionar enviar.