Dibujamos todas las diagonales de un n-gon convexo. Supongamos que no pasan tres diagonales por un punto. ¿En cuántas partes Tn se divide el n-gon?
Contestaré esta pregunta considerando primero el número de regiones en las que se puede dividir un círculo uniendo puntos [matemáticos] n [/ matemáticos] en el círculo mediante líneas rectas. Luego restaré las regiones [math] n [/ math] fuera de [math] n [/ math] -gon para obtener su respuesta.
Comencemos con n puntos en un círculo.
La secuencia para el número máximo de regiones obtenidas uniendo n puntos alrededor de un círculo por líneas rectas viene dada por A000127 – OEIS .
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Esta pregunta también surgió en el sitio web Ask Dr. Math. Desplácese hasta el final de esta página para leer el análisis del Doctor Anthony, o lea mi resumen aquí: El número de regiones en las que se divide el círculo es 1 + el número de líneas + el número de intersecciones interiores. Puedes probar esto usando inducción. Con cero líneas, tienes 1 región. Cada vez que dibuja una nueva línea, agrega al menos una región más, si la nueva línea no se cruza con ninguna otra línea. Y cada vez que la nueva línea se cruza con otra línea, crea una región más.
El número de líneas que puede dibujar con [math] n [/ math] endpoints es [math] \ binom n 2. [/ math] El número de intersecciones interiores es el mismo que el número de cuadriláteros que puede dibujar con [math] n [/ math] puntos, que es [math] \ binom n 4. [/ math] Entonces, el número total de regiones es
[matemática] 1 + \ dbinom n 2 + \ dbinom n 4 = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ 4 \ dbinom {n-1} k \ tag1 [/ math]
(donde [math] \ binom nk [/ math] se toma como [math] 0 [/ math] if [math] k> n [/ math]).
Ahora, volviendo a tu pregunta
Su pregunta, como dije, es similar a la pregunta de “n puntos en un círculo”, pero omite el círculo y, por lo tanto, omite las n regiones entre el círculo y sus acordes. Entonces solo necesita comenzar con la fórmula en [math] (1), [/ math] y restar n, entonces su respuesta final es
[matemáticas] 1 + \ dbinom n 2+ \ dbinom n 4 – n = \ boxed {\ boxed {\ dbinom {n-1} 2+ \ dbinom n 4}} \ tag2 [/ math]
Para obtener más información sobre esta secuencia, consulte A006522 – OEIS.