Deje que el triángulo sea [matemática] ∆ABC [/ matemática] cuyos vértices son [matemática] A (1,2,3), B (3,4,5) [/ matemática] y [matemática] C (3,2, 1) [/ matemáticas]. Entonces encontramos la longitud de cada lado usando la fórmula de la distancia:
Distancia, [matemática] D = \ sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [/ matemática]
Entonces, [matemáticas] AB = a = \ sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow a = \ sqrt {(3−1) ^ 2 + (4−2) ^ 2 + (5−3) ^ 2} = \ sqrt {4 + 4 + 4} = \ sqrt {12} unidades [/ matemáticas]
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[matemáticas] BC = b = \ sqrt {(3−3) ^ 2 + (2–4) ^ 2 + (1–5) ^ 2} = \ sqrt {0 + 4 + 4} = \ sqrt {8} unidades [/ matemáticas]
[matemáticas] CA = c = \ sqrt {(1–3) ^ 2 + (2–2) ^ 2 + (3–1) ^ 2} = \ sqrt {4 + 0 + 4} = \ sqrt {8} unidades [/ matemáticas]
Usamos la fórmula de la Garza para encontrar el área. Por lo general, la fórmula:
[matemáticas] Área, A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ matemáticas]
donde, [math] s = \ frac {a + b + c} {2} [/ math] es el semiperímetro del triángulo.
Como tenemos longitudes en raíces cuadradas, prefiero usar el otro formato:
[matemáticas] Área, A = \ frac {1} {4} \ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)} [/ matemática]
Multiplicando valores entre paréntesis y luego haciendo operaciones adecuadas obtenemos
[matemáticas] Área, A = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 (a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2 + a ^ 2) – (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] Área, A = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 ((√12) ^ 2 * (√8) ^ 2 + (√8) ^ 2 * (√8) ^ 2 + (√ 8) ^ 2 * (√12) ^ 2) – ((√12) ^ 2 + (√8) ^ 2 + (√8) ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] Área, A = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 (96 + 64 + 96) – (12 + 8 + 8) ^ 2} = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 (256) – (784)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {1024- (784)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 (256) – (784)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {240} = \ frac {1} {4} \ sqrt {4 * 4 * 15} = \ sqrt {15} [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] Área de [math] ∆ABC = \ sqrt {15} = 3.873unidades ^ 2 [/ math]
¡Feliz matemática!
