¿Por qué nos importa el ortocentro de triángulos? No tiene sentido
El ortocentro, [math] \ text {H}, [/ math] es la coincidencia de las altitudes. Nos importa el ortocentro porque es un punto central importante de un triángulo. Tiene una serie de propiedades interesantes relacionadas con otros puntos centrales, por lo que ninguna discusión sobre los puntos centrales de un triángulo estaría completa sin el ortocentro.
El circuncentro, [matemáticas] \ text {O}, [/ matemáticas] es la coincidencia de las bisectrices perpendiculares, y es el centro del círculo circunscrito.
El incentro, [math] \ text {I}, [/ math] (no se muestra) es la coincidencia de las bisectrices de ángulo, que se muestran a continuación como líneas discontinuas.
- Cómo encontrar la altitud de un triángulo
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En [math] \ triangle \ text {ABC}, [/ math] el ortocentro, [math] \ text {H}, [/ math] y el circuncentro, [math] \ text {O}, [/ math] son conjugados isogonales entre sí, lo que significa sus cevios, que son líneas desde los vértices del triángulo hasta [math] \ text {H} [/ math] y [math] \ text {O}, [/ math] se muestran en verde y rojo , respectivamente, son reflejos el uno del otro sobre los ángulos bisectores (líneas discontinuas).
Puntos [math] \ text {A}, [/ math] [math] \ text {B}, [/ math] y [math] \ text {C} [/ math] junto con su ortocentro, [math] \ text {H} [/ math] forma un sistema ortocéntrico en el que cada uno de los puntos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres.
La línea determinada por cualquiera de estos dos puntos es perpendicular a la línea determinada por los otros dos puntos.
El incentro del triángulo órtico, formado al conectar los pies de las altitudes, es el ortocentro de [matemáticas] \ triángulo \ texto {ABC}. [/ Matemáticas]
Si considera el sistema ortocéntrico más los tres pies de las altitudes, [matemática] \ text {A ‘}, [/ matemática] [matemática] \ text {B’}, [/ matemática] y [matemática] \ text {C ‘}, [/ math], entonces, para cada uno de los seis conjuntos de puntos colineales, los cuatro restantes son los vértices de un cuadrilátero cíclico cuyo diámetro del círculo circunferencial tiene puntos finales tomados del sistema ortocéntrico.
En otras palabras, cada par de puntos del sistema ortocéntrico forma el diámetro del círculo de un cuadrilátero cíclico, siendo los otros puntos los pies de dos altitudes. En el diagrama anterior, solo mostraba tres de los seis círculos, los que pasaban por el punto [math] \ text {H}. [/ Math] Los otros tres tienen diámetros [math] \ text {AB}, [/ math ] [math] \ text {BC}, [/ math] y [math] \ text {CA}, [/ math] y cada uno de estos también pasa por dos pies de altitud. ¿Puede encontrarlos? De lo contrario, puede hacer clic en el enlace del applet, a continuación, para ver los seis círculos y ver cómo se mueven cuando arrastra los vértices de [math] \ triangle \ text {ABC}. [/ Math]
Ortocentro, Circuncentro y Centroide
El centroide, [math] \ text {G}, [/ math] es la coincidencia de las medianas. Las medianas son líneas dibujadas desde cada vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto, dividiendo el triángulo en seis regiones de igual área. El ortocentro, [math] \ text {H}, [/ math] el circuncentro, [math] \ text {O}, [/ math] y el centroide, [math] \ text {G} [/ math] son colineales , acostado en la llamada Línea Euler. [math] \ text {G} [/ math] divide [math] \ text {HO} [/ math] en una relación [math] 2: 1 [/ math], es decir , [math] \ text {HG} = 2 \ text {GO}, [/ math] tal como el centroide divide cada una de las medianas en una relación [math] 2: 1 [/ math].
Coincidencia de centros
Si dos de H, O, G y yo coinciden, entonces todas coinciden y el triángulo es equilátero.
Investigación exahustiva
Para ayudarlo a comprender el conjugado isogonal, la relación del ortocentro con el circuncentro y el sistema ortocéntrico, creé tres applets usando GeoGebra. Puede explorar las propiedades de estos puntos centrales arrastrando los vértices [matemática] \ text {A}, [/ matemática] [matemática] \ text {B}, [/ matemática] y [matemática] \ text {C}, [ / matemáticas] y observando los resultados.
Applet conjugado isogonal
Puede mover los vértices de [math] \ triangle \ text {ABC}, [/ math] y puede mover el punto [math] \ text {P}. [/ Math] Observe ese punto [math] \ text {P ‘ } [/ math] está en la reflexión sobre cada una de las tres bisectrices de los cevians que contienen [math] \ text {P} [/ math], incluso cuando mueves [math] \ text {P} [/ math] completamente fuera del triangulo.
Applet Circuncentro Ortocentro
Puede mover los vértices de [math] \ triangle \ text {ABC}, [/ math] y observar que los puntos [math] \ text {H} [/ math] y [math] \ text {O} [/ math] son conjugados isogonales.
Applet del sistema ortocéntrico
Mueva los vértices de [math] \ triangle \ text {ABC}, [/ math] y vea que [math] \ text {A}, [/ math] [math] \ text {B}, [/ math] [math ] \ text {C}, [/ math] y [math] \ text {H} [/ math] forman un sistema ortocéntrico en el que cada uno es el ortocentro de los otros tres. Marque o desmarque las casillas de verificación para ver seis, ¡cuéntelos, seis! cuadriláteros cíclicos cuyos diámetros de circunferencia circunscrita están determinados por los cuatro puntos del sistema ortocéntrico.
